2022年北京高考数学选择压轴, 很多学生不会做, 老师分享3种解法

大家好！本文和大家分享一道2022年北京高考数学真题。这道题是2022年北京高考数学选择压轴题，重点考查的是向量数量积的计算。这道题的难度其实并不大，但还是有很多学生不会做，本文就和大家分享三种解法，以供大家参考。

解法一：极化恒等式

极化恒等式：在三角形ABC中，点D是边BC的中点，那么向量AB与向量AC的数量积就等于AD^2-BD^2，即两共起点向量的数量积就等于这两向量所构成三角形第三边中线的平方减去第三边一半的平方。

极化恒等式是计算共起点向量数量积的一个非常重要且好用的方法。利用极化恒等式的关键就是找出第三边的长度。

回到题目，设点D是AB的中点，那么根据极化恒等式可知所求向量的数量积就可以变换成PD^2-AD^2=PD^2-25/4。那么接下来就只需要求出PD的取值范围即可。

根据题意可知，点P在以C为圆心、以1为半径的圆上运动，求PD的取值范围就变成了求圆外一点到圆上的点的距离的取值范围。所以PD的最小值就等于CD-r，PD的最大值就等于CD+r，从而就可以求出最终的答案。

解法二：参数方程

由于∠C=90°，所以建立如下图所示的平面直角坐标系。根据题意可以得到点C(0,0),A(0,3),B(4,0)。由于PC=1，所以根据圆的定义可知点P在以C为圆心、以1为半径上的圆上运动，即圆C的参数方程为x=cosθ、y=sinθ(0≤θ≤2π)，那么可设点P的坐标为(cosθ,sinθ)。于是，PA向量的坐标为(-cosθ,3-sinθ)，PB向量的坐标为(4-cosθ,-sinθ)。根据向量数量积的坐标表示可得到两向量数量积为(cosθ)^2-4cosθ+(sinθ)^2-3sinθ，然后根据同角三角函数关系及辅助角公式整理得到-5sin(θ+ψ)+1，其中tanψ=4/3。由于-1≤sin(θψ+)≤1，所以-4≤-5sin(θ+ψ)+1≤6。

解法三：坐标法

建立如解法二的平面直角坐标系，由题意知点P在以C为圆心、以1为半径的圆上运动。设点P(x,y)，则PA向量的坐标为(-x,3-y)，PB向量的坐标为(4-x,-y)，故两向量数量积为x^2-4x+y^2-3y，配方后得到(x-2)^2+(y-3/2)^2-25/4。其中，(x-2)^2+(y-3/2)^2可看成是点P(x,y)到点M(2,3/2)的距离的平方，所以只需要求出PM的取值范围即可。由于点P在圆上，点M在圆外，所以PM的取值范围也就是解法一中PD的取值范围，从而得到答案。