辅助线都快画到太空外了, 2022年深圳中考数学填空压轴题

2022年深圳中考数学的填空压轴题，主要的难点来自辅助线的画法。一般的考生都习惯在图形中画辅助线，一旦辅助线画在图形外部，甚至伸展到太远的地方，很多考生就很难完成。特别是这道题，它的辅助线都捅到太空外去了，能想得到的考生就更是少之又少了。

已知△ABC是直角三角形，∠B=90度，AB=3，BC=5，AE=2根号5，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE，F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD=45度，则AF长____.

分析：这道题很明显的，关键就是要怎么利用∠FBD=45度这个条件。也很容易想到，必须构造一个等腰直角三角形。但是要构造成图形内部，这个点就很难被利用到。老黄还一度想证明BF垂直于AC，那么图形中就自然有一个直角三角形了。但请注意，这道题中，其实隐藏着一个动点E。E是在以A为圆心，AE为半径的圆上的。当E在不同的位置上时，BE和AC的位置关系是不同的，所以并不能证明BF垂直于AC. 甚至还可能有考生会考虑证明CD平行于AB，其实这些都是题目图形中给考生挖的坑，跳下去，可能就上不来了，就算最终能解决得了这道题，也要花费特别多的时间，在考场上基本就解不了了。

正确的做法应该如下图，过D作DG垂直于BD，交BF的延长线于点G，连接EG。瞧这辅助线画得，真有点吓人，而且需要画三条辅助线，真不是一般考生能想得到的。

图中有三个重要的信息，一个直接可以看得出来，就是三角形BDG是一个等腰直角三角形。另两个信息需要进行证明，即三角形BCD和三角形GED全等，以及GE与AB平行。

证明全等有“边角边”判定定理，其中BD=GD，CD=DE，都是等腰直角三角形的腰相等。而角EDG和角CDB都是角BDE的余角，“同角等余”，所以这两个角相等，就证明了△BDC≌△GDE。从而全等三角形的边GE=BC=5，角DGE=角DBC。

又∠ABF+∠DBC=∠ABC-∠FBD=45度, ∠EGF+∠DGE=∠BGD=45度, 所以角∠ABF=∠EGF, 由“内错角相等，两直线平行”，就有AB//GE.

由“平行线截取线段成比例”的基本实现，又有AF/EF=AB/GE=3/5, 而EF=AE-AF=2根号5-AF. 所以AF/(2根号5-AF)=3/5. 解方程得AF=3根号5/4. 这就是问题的答案了。

您有更好的解决方法吗？如果有，请分享出来让老黄学一学！