当你看到下面这道2022年深圳中考数学的真题时,瞬间可能会有一种穿越到物理考场的感觉。因为这是一道与物理中光的反射紧密相关的问题。然而这道题的诡异之处,远不止于此。
需要特别声明一下的是,由于现在能找到的题目版本,都是考生回忆的,所以题目中会有一些不严谨的地方,老黄需要特别指明,而且会有一些不得以的改动,最令人崩溃的是,有些时候还要考虑两种甚至两种以上的情形。所以老黄的分析会显得有点啰嗦拖沓,请诸位体谅!
一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径,半圆O上点C处有个吊灯EF, EF//AB, CO⊥AB, EF的中点D,OA=4.
(1)如图①,CM为一条拉线,M在OB上,OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度.
(2)如图②,一个玻璃镜与圆O相切,H为切点,M为OB上一点,MH为入射光线,NH为反射光线,∠OHM=∠OHN=45⁰,tan∠COH=3/4,求ON的长度.
(3)如图③,M是线段OB上的动点,MH为入射光线,∠HOM=50⁰,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中,求N点的运动路径长.
分析:(1)题目应该补充点F在CM上,或点D在CO上,当然,两者都指明最好,但两者都不指明,就造成了不严谨。老黄这里就以其中有一点在对应线段上为已知条件。
这道题应用的是三角形的中位线判定定理:与三角形一边平行,且等于这一边的一半,两个端点都在三角形的边上的线段,就是三角形的中位线。因此CD等于半径OC的一半,就等于2.
解:(1)∵DF=OM/2, EF//AB, ∴DF是△OCM中位线,CD=OC/2=OA/2=2.
分析:(2)这道题诡异之处在于,入射光线竟然不是从吊灯射出的,而是从什么都没有的线段OB上的一点M射出的。当然,这只是题目的一个小花絮,并不影响题目本身的实质。老黄加点花絮,轻松一下气氛罢了。
只要过N点作OH的垂线段NG,就可以由等腰直角三角形NGH得到GH=NG,又由角COH的正切值,得到NG与OG的关系,结合半径OH=4,就可以求得NG和OG的长,最后用勾股定理求ON的长就可以了。
解:(2)过N作NG⊥OH于点G,则NG=HG,
由tan∠COH=NG/OG=3/4,有HG=NG=3OG/4,
HG+OG=7OG/4=OH=OA=4, 解得OG=16/7, HG=12/7.
在Rt△ONG中,ON=√(OG^2+NG^2 )=20/7.【这个直角三角形符合“勾三股四弦五”的关系】
分析:(3)题目中指明“HN为反射光线交圆O于点N”,但老黄怀疑应该是“HN为反射光线交半圆O于点N”,到底是“圆O”,还是“半圆O”,那可完全是两回事哦。不论是哪一种情形,都最好把圆补全来分析:
注意看,如果是在圆O上的路径,那答案就是弧ST的长。如果是半圆O上的路径,答案就是弧AT与半径OA的和。其实后者的说法也是有争议的,因为半圆有两种理解,一种是只包含半圆弧的,一种是包含直径和半径弧的。
因为当入射光线MH垂直于镜面时,N点在OH的反向延长线与圆O的交点S上(或与O点重合),随着M点向B点移动,N点会沿弧SA(或半径OA)向点A移动,并跨过A点(或在A点转向弧AT)向T点移动,当M点和B点重合时,N点就运动到T点。此时,由反射的轴对称性,有角TOH=角MOH=50度。
所以如果求圆O上的路径,那就是圆心角为180度-50度=130度所对的弧ST的长。如果求半圆O上的路径,那就是圆心角为180度-100度=80度所对的弧AT的长,还要加上半径OA的长。
解:(3)点N在圆O上的情形:N点运动路径是一段圆心角为180⁰-50⁰=130⁰的圆弧,
圆弧为:4π×130/180=26π/9.
即N点运动路径长为26π/9.【考试的答案极有可能不是这个,但它是严谨的】
点N在半圆O上的情形:当N点运动路径是一段圆心角为180⁰-100⁰=800⁰的圆弧,与半径OA构成的。
圆弧为:4π×80/180=16π/9.
即N点运动路径长为:4+16π/9.【考试的答案极有可能是这个,但它并不是特别严谨】
你瞧,题目不严谨,会造成多大的麻烦。