2016年江苏高考数学填空压轴题, 难度太大, 全班学生无人做对

说起高考试卷难度最大的地区，江苏都会是一个被大家反复提及的名字。江苏高考试卷的难度究竟有多大？其他地区不少学生经常在看过江苏高考真题后表示，试卷的每个字都认识，但是还是不知道题目说的是什么意思。说得直白点就是不少学生连江苏高考的题目都看不懂。

本文就和大家分享一道2016年江苏高考数学真题，让大家感受一下江苏高考的难度。这道题是当年江苏高考数学试卷的填空压轴题，考查的是解三角形、三角恒等变换以及求最值等知识，难度很大，全班50个学生无一人做对，学霸看了也头疼。下面我们一起来看一下这道题。

题目见上图。初看之下，这道题的题目非常简洁，似乎难度不大，但是很多同学动笔做时才发现完全没有思路。那么，这道题究竟应该怎么做呢？

题干中告诉了sinA=2sinBsinC这个关系式，这个关系式中出现了A、B、C三个角，这种情况下如果没有明显的思路，那么可以充分利用三角形内角和为180°的性质来减少角的个数，即sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)。

于是就有sin(B+C)=2sinBsinC，再将等式左边部分用两角和的正弦公式展开，得到sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC①。

到了这一步后，接下来该怎么处理呢？我们看一下题目要求的是tanAtanBtanC的最小值，那么我们就可以先想办法表示出角的正切值。由于是锐角三角形，则有cosB＞0，cosC＞0，此时可以将①式两边同时除以cosBcosC，从而得到tanB+tanC=2tanBtanC。

在三角形中，有tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)②。所以tanAtanBtanC=-(tanB+tanC)tanBtanC/(1-tanBtanC)。将①代入上式，即可得到tanAtanBtanC=-(tanBtanC)^2/(1-tanBtanC)，所以只需要求出这个式子的最小值就可以了。

接下来用换元法进行求解。

令tanBtanC=t，则tanAtanBtanC=-2t^2/(1-t)=-2/[(1/t^2)-1/t]=-2/[(1/t-1/2)^2-1/4]。由于是锐角三角形，故tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，所以由②式可以得到t＞0，则(1/t-1/2)^2-1/4在[-1/4,0)之间，故tanAtanBtanC≥8，即所求的最小值为8。

另外，如果是解答题，还需要求出取得最小值的条件。