2014年江苏高考数学真题, 函数零点问题, 掌握方法就是送分题

大家好！本文和大家分享一道2014年江苏高考数学真题。这道题是当年那套数学试卷的第十三题，也就是倒数第二道填空题。这道题考查的重点是函数的零点，不过难度不算大，只要掌握了方法就是一道送分题。下面我们一起来看一下这道题。

函数的零点是高中数学的一个常考知识点。需要注意的是，函数的零点不是点，而是函数值为零即f(x)=0时自变量x的值，也就是说函数的零点是数值。

在处理函数零点时，我们需要注意到三个等价关系，即函数f(x)的零点等价于函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标，也等价于方程f(x)=0的实数根。

如果函数F(x)可以写成两个函数之差的形式，即F(x)=f(x)-g(x)，那么函数F(x)的零点通常进行如下变换：F(x)的零点等价于F(x)=f(x)-g(x)=0，从而等价于f(x)=g(x)，即转换成函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标。特别是，在求函数F(x)零点个数时，只需要找出函数f(x)与g(x)图像的交点个数即可，这样就利用数形结合结合的方法将问题直观化处理了。

回到题目。本题要求的是函数y=f(x)-a的零点，那么如果设g(x)=a，那么y=f(x)-g(x)，也就是上面所说的F(x)=f(x)-g(x)，所以我们就将函数y=f(x)-a在[-3,4]上有10个零点转化成函数f(x)与g(x)=a的图像在[-3,4]上10个交点，那么接下来我们就需要分别画出这两个函数的图像，然后通过图像来寻找答案。

显然，f(x)的解析式是可以确定下来的，所以我们先画出f(x)在[-3,4]上的图像，在将g(x)的图像上下移动，寻找适合条件的a的取值范围。

要画f(x)的图像，我们只需要先画出f(x)在[0,3)上的图像，然后再根据其周期性就可以画出完整的图像。要画f(x)在[0,3)上的图像，只需要先画出二次函数y=x^2-2x+1/2在[0,3)上的图像，然后再根据函数图像的变换规律将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即可得到f(x)在[0,3)上的图像。接着再根据f(x)的周期为3个将[0,3)上的图像左右平移就可以得到f(x)在[-3,4]上的完整图像，如下图中黑色函数图像部分。

接着再画出g(x)=a的函数图像，然后上下平移，找出两个函数图像有10个交点的情况，从而得到a的取值范围。