2021武汉中考卷解答题第21题有难度, 参数的灵活运用是难点

各位朋友，大家好！在9月份，“数学视窗”继续与大家分享2021年全国各地中考数学试题，对于那些非常简单的题目，将不会与大家分享，只会选取有一定难度的能力题进行讲解。今天分享的这道题目是2021年武汉中考数学试卷中的解答题第21题，此题是有关圆的知识与相似三角形知识的综合应用，难度比较大，是对学生综合能力的考查。

如果学生不能熟练掌握圆的对称性的相关知识点，并灵活运用三角形相似的知识，将无法做出此题。这道题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，三角形相似等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（2021·武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是弧BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若DC/DF=√6，求cos∠ABD的值．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

（1）要证CE是⊙O的切线，显然需要连半径，连接OC交BD于点G，容易证明四边形EDGC是矩形，可求得∠ECG=90°，即可得出CE是⊙O的切线；

（2）需要充分利用DC/DF=√6，设参数DF=t，则DC=√6 t，再根据Rt△BCG∽Rt△BFC得出比例式，求出CG，OG（用t表示），利用勾股定理求出圆的半径，进而求cos∠ABD的值．

解答：（以下的过程仅供参考，部分过程有所省略，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）证明：连接OC交BD于点G，

∵点C是弧BD的中点，

∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，

（也可以通过全等三角形进行证明）

∴∠DGC=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠EDB=90°，

∵CE⊥AE，

∴∠E=90°，

∴四边形EDGC是矩形，

（矩形的判定：三个内角是直角的四边形）

∴∠ECG=90°，

∴CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCG+∠FCG=90°，

∵∠DGC=90°，

∴∠CFB+∠FCG=90°，

∴∠BCG=∠CFB，

∴Rt△BCG∽Rt△BFC，

∴BC2=BG•BF，

设FG=x，OB=r，DF=t，

（此处参数的设置很重要，也是难点）

∵DC/DF=√6，

∴DC=√6 t，

由（1）得，BC=CD=√6 t，

BG=GD=x+t，

∴（√6 t）2=（x+t）（2x+t），

解得x1=t，x2=-5/2 t（不符合题意，舍去），

∴BG=2t，

∴CG=√2 t，（在Rt△BCG中，运用勾股定理）

∴OG=OC-OG=r-√2 t，

在Rt△OBG中，由勾股定理得

OG2+BG2=OB2，

∴（r-√2 t）2+（2t）2=r2，

解得r=3√2t/2，

∴cos∠ABD=BG/OB=2√2/3．

（完毕）

这道题具有教强的综合性，解决本题的关键是利用圆的对称性，得到垂直平分，利用相似与勾股定理求出相应的边，参数的运用是难点。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。