2002年上海高考数学真题, 看着挺吓人, 其实就是纸老虎

大家好！本文和大家分享一道2002年上海高考数学真题。这道题看着挺吓人，又是三角函数又是二次函数，其实透过外表看本质，这道题其实非常简单，就是纸老虎。接下来我们就来一起看一下这道题。

先看第一问：求二次函数的最值。

二次函数的最值是高中数学的重点，也是难点。二次函数的最值问题的常考题型可以分为三类：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间。

定轴定区间：这是二次函数最值问题中最简单的一类，也就是说已知函数的开口方向、对称轴以及x的取值范围，求函数的最值。这类型题目只需要画出函数的图像就可以很轻松地求解。

定轴动区间：即二次函数的开口方向、对称轴已经确定了，但是x的取值范围是变化的，比如x在[t,t+1]上，x就会随着t的变化而变化。这类型题目也是先画出函数图像，再左右移动x所在的区间，找出取最值的情况。

动轴定区间：即二次函数的开口方向和x的取值范围确定了，但是函数的对称轴在变化。这种情况下，先画出x所在的区间，然后把函数图像左右移动，从而找出取最值的条件。

上面三种情况可以归结为一个方法：先画出确定的因素，再将不确定的因素进行左右移动，从而找出取最值的条件。

回到题目，由于已经告诉了θ的值，即已知tanθ的值，代入原函数后，原函数的解析式也就确定了。又x的取值范围也是确定的，所以这就是二次函数“定轴定区间”的最值问题。这种情况下，可以根据图像求解，也可以根据对称轴与x所在区间的关系直接求解。

由于f(x)的开口向上，所以越靠近顶点的函数值也就越小，而对称轴刚好在x所在区间内，所以最小值就是顶点的函数值。同理，离顶点越远的点函数值越大，所以当x=-1时，f(-1)最大。

再看第二问，求θ的取值范围。

本问主要考查的是二次函数的单调性，而二次函数的单调性与开口方向和对称轴息息相关，二次函数的单调性在对称轴两边是相反的。

要使f(x)在[-1,√3]上是单调函数，那么f(x)的对称轴就不能在这个区间内。也就是说对称轴要小于等于-1或者大于等于√3，即-tanθ≤-1或-tanθ≥√3，即tanθ≥1或tanθ≤-√3。

接下来根据正切函数的性质及题干中给出θ的取值范围，综合求出最终θ的范围。

这道题的难度其实并不大，只是形式上看起来比较复杂，只要细心一点得满分问题不大。