大家好!本文和大家分享一下这道2003年上海高考数学压轴题。这是一道新定义问题的题目,综合考查了函数的基本性质、函数图像、函数与方程、分类讨论思想以及阅读理解能力等。这道题的难度还是很大的,不少同学甚至连题都没读懂。下面我们一起来看一下这道题。
先看第一小问:判断f(x)=x是否属于M?
要判断一个函数是否属于集合M,关键是验证是否存在非零常数T,使得f(x+T)=Tf(x)对任意实数都成立。当f(x)=x时,f(x+T)=x+T,而Tf(x)=Tx,如果f(x+T)=Tf(x),即x+T=Tx,显然不能在x为任意实数时成立,也就是说f(x)=x不属于集合M。
再看第二小问:证明f(x)=a^x属于M。
两个函数图像有公共点,也就是联立两个函数解析式得到的方程组有实数解。所以联立两个函数解析式,得到一个方程组,消去y得到方程a^x=x,那么该方程有实数解。显然,x=0不是该方程的解,所以该方程一定有非零的实数根,即存在非零实数T,使得a^T=T。所以对于f(x)=a^x就有,f(x+T)=a^(x+T)=a^x·a^T=Ta^x=Tf(x),所以f(x)=a^x属于集合M。
最后看第三小问:求k的取值范围。
由题意知,f(x+T)=T(fx),即sin(kx+kT)=Tsinkx。
显然,当k=0时,上面的关系式成立,此时f(x)=0属于集合M。
当k≠0时,由于-1≤sin(kx+kT)≤1,且-1≤sinkx≤1,所以要使sin(kx+kT)=Tsinkx恒成立,那么T就只能等于1或者-1。
当T=1时,有sin(kx+k)=sinkx,所以k=2nπ,k为整数。
当T=-1时,有sin(kx-k)=-sinkx,变换后得到sin(kx-k+π)=sinkx,所以-k+π=2nπ,n为整数,即k=-(2n-1)π,n为整数。
2n为偶数,2n-1为奇数,所以综上k=nπ,n为整数。
做这道题的关键就是要读懂题意,也就是要读懂集合M的定义。只有读懂了定义,解题过程中才能运用定义来解题,而读懂定义后,这道题也就不是那么难了,至少第一二小问难度并不算大,但是考场上很多学生却没能读懂题意,从而导致一分未得。