选析2021年浙江高考数学中有意思的题目

注：此次推送不包括导数压轴题，导数大题在后续的推送中专门给出。

浙江高考数学试卷的整体质量还是很高的，难度也高于新高考1卷，如果浙江省也使用新高考1卷，估计浙江的学子能乐醒，此次就不全盘分析了，选取几道有思考价值的题目做一次分享。

很明显能看出两直线异面且不平行，排除B,C，线段MN在底面ABCD上的投影为GH，在平行四边形中证明线面平行即可，在正方体中与BDD1B1垂直的直线为AC，AC和MN显然不平行，故MN不可能与平面BDD1B1垂直。

根据两函数和目标函数的奇偶性对比，可排除A,B，从图像可知，当x趋近于正无穷时，y趋近于0，g(x)为有界函数，当x趋近于正无穷时f(x)趋近于正无穷，所以y=g(x)/f(x)满足要求，浙江学生对极限应该很熟悉了，至于C选项的排除，可用导函数在π/4时的正负来判定。

这是一个很有意思的题目，如果能注意到给出的三个值中α，β，γ的正余弦正好全部出现，那么利用常用不等式可证得不可能同时取到大于二分之一的情况，其实题目能大致推断出，以sinαcosβ为例，当两个角度均为45°时乘积刚好为二分之一，所以α越接近直角，正弦越大，β越接近0°，余弦越大，确定出两角大致的范围即可判断出三个值中肯定有一个不符合逻辑。

四个选项中均为直线，这点有点无语，如果题目设置为多选题或选项题会更好，因为ab>0，二次函数恒正或恒负，所以当等比数列为非零常数列时t=0，这里就能推断出轨迹的一种情况是直线，题目中判断(s,t)的轨迹，即找到一个关于s,t的方程，此时与a,b无关，最好将a,b设为1，带入三个函数求轨迹即可，难度不大。

以上解法仅供参考，还有其他简单的解法，根式数列通项的求法，在之前有过一期推送，链接为一类根式型数列通项公式的求法，常用的方法为换元或配方，但本题目无论采用何种方法均不能把an的通项求出来，因此题目应该是考查数列的放缩，将一个非常规数列放缩成常规数列，利用放缩可得到一个包含an的数列累加法的不等式，求出an的类通项公式(不等关系)，再将原等式中分母中的根式去掉后可得到一个与an数列累乘法有关的不等式，即可求出关于an的左右不等式，求和判断范围即可。

数列放缩也是浙江模考和高考中常见的题型了，毕竟浙江高考非常喜欢出与数列不等关系有关的压轴小题，曾经还以不动点的形式出现过，很值得研究。

设出点求出投影带入后所求式子为二元二次的最小值，解决此类问题方法很多，基础的可用主次元法，即分别将x,y看做未知数求两次最值，高级一些的可用拉格朗日乘数法，链接为不等式专题之二元条件最值中的拉格朗日乘数法，也可使用权方和不等式法，另外本题可用几何法求解，若将所求看做两个距离，其中一个是动点(x,y)到原点的距离的平方，另外一个是动点(x,y)到直线x+2y-2=0的距离的平方，利用不等式，转化为与两个距离和有关的最小值，很显然最小距离就是原点到直线的距离，这种方法很有意思。

由于填空题中出现了一个利用超几何分布求概率和期望的小题，此次大题中竟然没有相关的大题，数列题难度不大，第一问常规的根据Sn和an的递推公式求通项公式，第二问利用错位相减法求出Tn，整理后的不等式可当做关于n的一次函数不等式，若不等式恒大于等于0，则保证斜率为正且n=1时函数值大于等于0即可，当然斜率为零时恰也符合。

这个题目刚看到之后我都怀疑自己在规定时间内做不完，等式中的三段长度RN，PN，QN均为同一条直线上，且均以N为端点，N点恰好在x轴上，因此等式可直接转化为与R,P,Q三点纵坐标有关的等式，接下来表示出三个纵坐标即可。

因为抛物线焦点在x轴上，AB直线还过x轴上一定点，因此设直线时把AB和l的方程设成x=my+n的形式会更简单，联立AB和l的方程可求出R点纵坐标，设出MA的方程与l联立后可求出P点纵坐标，后可直接写出Q点纵坐标，因为MA，MB的斜率形式类似，可设为k1,k2，先表示后带入整理，整理之后发现过程并不复杂，化简结果竟令人还有点小舒服，求最值需求一次最值，解一次不等式即可。