2016年浙江高考数学真题, 看似复杂, 学霸却说是送分题

大家好！本文和大家分享一道2016年浙江高考数学真题。这道题综合考查了函数的新定义问题、绝对值函数、二次函数以及函数的最值问题等。本题从形式上看比较复杂，但是只要理清新定义所表达的意思，这道题也就不难了，很多学霸直言这就是道送分题。

我们先来看一下这个新定义的函数是什么意思。根据min(p,q)的定义可知，当p≤q时，取p；当p＞q时，取q，也就是说取的是p和q当中较小的那一个。所以，F(x)实际上就是取函数2|x-1|与x^2-2ax+4a-2中的较小的那个函数。

搞清楚F(x)的概念后，再看第一小问。要使F(x)=x^2-2ax+4a-2成立，即x^2-2ax+4a-2≤2|x-1|成立，所以只需要解出这个不等式即可。

这是一个绝对值不等式，所以要分类讨论去掉绝对值符号。

当x＜1时，x^2-2ax+4a-2-2|x-1|=x^2-(2a-2)x+4a-4=x^2+(2a-2)(2-x)。由a≥3可知2a-2＞0，由x＜1知2-x＞0，又x^2≥0，所以x^2+(2a-2)(2-x)＞0，不合题意。

当x≥1时，x^2-2ax+4a-2-2|x-1|=(x-2a)(x-2)≤0，解得2≤x≤2a，即x的取值范围为[2,2a]。

再看第二小问：求最值。

(i)求F(x)的最小值，只需要先求出f(x)=2|x-1|与g(x)=x^2-2ax+4a-2的最小值，再选择这两个最小值中较小的那个。

由于f(x)的最小值为f(1)=0，g(x)的最小值为g(a)=-a^2+4a-2，接下来只需要比较0和-a^2+4a-2的大小即可。当然，需要注意的是不要忽略了题干中给出的a的取值范围。

另外，特别小心的是，题目要求我们求的是m(a)，也就是所求函数的自变量是a而不是x，这也是很多学生容易忽略的一点。

(ii)求F(x)的最大值。

由(1)知，当0≤x≤2时，2|x-1|≤x^2-2ax+4a-2，则F(x)=2|x-1|，此时F(x)的最大值为2。

综上就可以得到F(x)的最大值。同样需要注意的是，题目要求的是M(a)，所以自变量也是a而不是x。

这道新定义的高考题，难度在于读懂题干给出的新定义。如果读懂了新定义，这道题也就不难了。