抛物线是一类运用广泛的圆锥曲线,由动点、焦点、离心率和准线构成和谐的整体,是高考中常考常新的热点问题,那么高考常以何种方式考查抛物线的哪些内容?
抛物线是高中数学的重要内容之一,同时也是高考重点考查的内容,抛物线的概念和性质,直线与抛物线的位置关系等知识既是高考关注之处,又是学生学习中易出错的地方。
高考对抛物线的考查基本围绕定义的应用以及几何性质,命题方向上注重"小而巧",侧重基本运算能力和思维的灵活性,而与抛物线有关的最值问题是高考中的常见问题。
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。
抛物线方程中,字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离,p/2等于焦点到抛物线顶点的距离,记牢对解题非常有帮助。
用抛物线定义解决问题,体现了等价转换思想的应用。
由y²=mx(m≠0)或x²=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦点位置即可。
抛物线有关的高考试题分析,典型例题1:
已知圆C过抛物线y²=4x的焦点,且圆心在此抛物线的准线上,若圆C的圆心不在x轴上,且与直线x+√3y﹣3=0相切,则圆C的半径为.
考点分析:
抛物线的简单性质.
题干分析:
求出抛物线的准线方程x=﹣1,设圆心坐标(﹣1,h),根据切线的性质列方程解出h,从而可求得圆的半径.
抛物线有关的高考试题分析,典型例题2:
在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.
(Ⅰ)求点P的轨迹Г的方程;
(Ⅱ)过动点M作曲线Г的两条切线,切点分别为A,B,求证:∠AMB的大小为定值.
考点分析:
抛物线的简单性质.
题干分析:
(Ⅱ)求得M(﹣1,n),过点M的切线斜率存在,设为k,则切线方程为:y﹣n=k(x+1),联立抛物线的方程,消去y,运用相切的条件:判别式为0,再由韦达定理,结合两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,即可得证。