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很难想象没有导数的数学和物理学, 导数概念背后的直觉及其应用

我们都或多或少地接触过导数。互联网上有很多关于导数的定义。它是一个函数的图形的切线的斜率。或者,它是 "瞬时变化率"。尽管上述定义在技术上并无不妥,但它们并没有抓住导数的本质。

让我们退一步来说。在数学中,我们用数学函数来模拟一个物理量(甚至非物理量)的行为如何取决于另一个量。例如,考虑下面这个函数。

两个质量之间的引力

函数F计算了两个质量在距离r处的引力。我们说力F是因变量,而 r,即距离,是自变量。r 的值决定了 F 的值。引力是距离的函数,我们写成F=F(r)。

我们可以想出一个更简单的函数。比方说f(x)=x²。这个函数可以代表一个力或我们选择的任何量。

一个函数是一个依赖于另一个量的量。这种依赖关系的确切性质是由函数的公式描述的。然而,公式中没有描述的是这种依赖关系的“敏感度”。考虑一下我们之前提到的函数F=F(r)。尽管我们有引力的公式,但我们不知道引力对自变量距离的变化有多大的反应。也就是说,如果我们改变了距离,力会改变多少?这就是衍生出导数概念的问题。

函数f=f(x)的导数告诉我们,当我们把参数x改变一些时,函数f(x)的变化有多快。如果 "df "代表函数f(x)的微小变化,"dx "代表自变量 "x "的微小变化,那么导数就是比例因子。

应用

很难想象没有导数的数学和物理学。我们现在将看到这个概念的一些应用,以及为什么使用它不仅是必要的,而且是合乎逻辑的。

艾萨克-牛顿和戈特弗里德-威廉-莱布尼茨独立发展了无穷小微积分理论。

数学

导数在数学中的一个直接应用是当我们试图判断一个函数是(单调)增还是减。牢记导数的定义,要想得出这个想法并不难。如果一个函数f(x)的导数是正的,那么这个函数将是单调增的,如果是负的,它就是单调减的。在这篇文章中,我所关心的不是精确的数学,而是背后的直觉。想一下,如果我们把 "x "改变一个很小的量 "dx",而f(x)改变的量 "df "是正的,这意味着f正在变大。换句话说,这个函数在增加。同样的说法也适用于递减函数。

当我们试图确定一个函数的最小值和最大值时,导数也会很有用。让我们再想一下,在一个函数达到其最大值的地方,导数必须是什么?当然,它必须是零。只有当 "df "为零时,函数才会出现最小值或最大值。

物理学

导数在物理学中也发挥着重要的作用。什么是速度??我们可以说它是一个物体行进的距离除以到达那里的时间,但这只能告诉我们平均速度。我们感兴趣的是如何定义瞬时速度,即一个物体在每个时间点上的速度和方向。

在物理学中,对速度有一个非常自然的定义。它是一个物体的位置的导数!它是一个物体的位置在一个微小的时间变化中的微小变化的分数。那么什么是加速度呢?它是速度的导数! 通过这个例子,我们可以看到导数的概念是多么简单而又强大。

物理学中的位置、速度和加速度

我们研究一个物理量的变化是如何影响依赖于它的其他量的。这就是为什么在每个物理学领域,从经典力学和电动力学到量子力学和相对论,核心方程都包含导数的原因。以下是一些例子。

经典力学中的牛顿第二定律

波浪方程

量子力学中的薛定谔方程

上述方程是所有物理学中最基本的一些方程。在物理学中,我们很少关注精确的数量。物理学和我们周围的世界一样,都是关于变化的。而只有通过导数的概念,我们才能开始理解这个复杂的世界和它所带来的各种现象。

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