让我们从最基本的数学方程开始：
这可能是我们小时候学的第一个等式。一些人可能有模糊的记忆，我们的父母一遍又一遍地重复这个等式。等一下，你可能会抗议。这个方程有一个小问题！它不是应该是：
我想问你：你怎么知道？
这不是很明显吗？当你把一个弹珠和另一个弹珠放在一起时，你就会得到两个弹珠！这不是很明显的吗？你的父母在你小的时候没有告诉你吗？
我的回答是：但是当你把一杯水加到另一杯水里时，你最后只得到一杯水！你知道吗？
根据经验主义者的观点，我们通过经验获得数学知识，似乎是通过与周围世界的互动来学习数学的。例如，我们的父母可能教我们数数，或者用家里的各种物品做简单的算术。
但正如上面的小思维实验所显示的，这种数学观似乎有一个问题，我们从世界获得的知识是不确定的。为了理解为什么会这样，我们要更仔细地研究一下我们如何学习1+1=2。
假设一个孩子开始学习1+1=2。首先，父母可能会在两只手上各拿一个弹珠，然后把它们放在一起，让孩子知道现在有两个弹珠。这可以用其他物体重复进行，如饼干、铅笔、数学课本......。
过一会儿，孩子就会开始意识到这个模式（规律），并得出（正确的?）结论：1 + 1 = 2。在这种情况下，孩子在有限的样本容量中添加一个物体和另一个物体，然后概括他的经验，得出等式。
问题是，这种概括，也被称为归纳法，开启了错误的可能性。如果我们遵循这样的逻辑，像水杯这样的例外情况将导致我们得出非常不同的结论。
这样看来，也许，虽然我们可以通过经验来学习数学，但经验不能成为证明数学的基础。换句话说，虽然我们可以通过摆弄各种物体来了解“1 + 1 = 2”这个命题，但这并不是这个命题成立的原因。
经验主义不是最好的数学观点的另一个原因是，它不能解释我们如何获得理想和抽象实体的知识，这些实体在现实世界中实际上并不存在。例如，一条线，定义为有长无宽，在现实世界中是不可能画出来或感知到的。无论你的画有多好，即使是用电脑画的，在数学上也是不正确的，因为在某种程度上，“线”只是一系列相邻的像素，它们有宽度。如果这些数学对象在现实世界中不存在，我们怎么能仅仅通过我们的经验来想象它们呢?
由于上述原因，数学通常被看作是一个先验的学科，也就是说，相对于经验而言，它需要理性来认识它。这是因为像1+1=2这样的陈述被视为分析性的，即根据定义是真的。这就意味着，“1 + 1≠2”这一命题的否定是一种矛盾，仅仅通过思考(仅使用理性)就可以看出这一矛盾。其他例子包括 "三角形有三条边 "或 "平行线永不相交"。结果是，我们的数学知识现在是确定的，因为说 "1+1=1 "或 "一个三角形有四条边 "在逻辑上是根本不正确的。
不是一个三角形。
但这仍然没有告诉我们，我们是如何得到这样的表述（结论）的。为了回答这个问题，我们必须转向最常见的数学观点：柏拉图主义。
在柏拉图主义下，数学实体是抽象的、永恒的、永不改变的。它们存在于形式的世界中，独立于物理世界。当我们做数学时，我们用头脑来访问这个形式的世界，发现其中的真理。例如，我们知道一个三角形有三条边，因为完美的三角形就是这样存在于这个 "形式的世界 "中，我们可以通过使用我们的思维能力来了解它。
你可能认为这个 "形式世界 "的概念有点奇怪。但既然像完美的圆和线这样的数学实体不存在于现实世界，那么它们一定存在于某个地方。否则我们怎么会知道它们呢？而它们存在的地方正是柏拉图主义者所说的形式世界!
这也符合数学的先验性质，因为数学的合理性不在于是否能在物理世界中找到一个实体或定理，而在于我们是否能在形式世界中找到它。例如，我们并不是通过测量无数个物理三角形来证明三角形的角度之和为180°。相反，我们使用的是一个我们可以在头脑中发现的证明，使我们能够获得三角形的真理，即存在于形式世界中不变的三角形，其角度之和等于180度。
此外，它还解释了为什么数学是通用的。世界各国的人都会同意1+1=2或毕达哥拉斯定理是正确的，因为数学独立于我们的思想而存在。这意味着，我们都可以访问存在于形式世界中的同一套普遍的数学规则和实体。像莱布尼茨和牛顿这样的人独立开发微积分的事实，也证明了这一点。
然而，正如许多人可能指出的那样，这种模糊的形式世界的概念并没有真正准确地解释数学实体在哪里和如何存在，以及我们如何知道它们。这似乎有点奇怪，有一个神秘的领域，像完美的线和圆这样的物体就存在，等待我们以某种方式发现它们。这就是为什么有些人可能更喜欢以下观点：直觉主义。
根据直觉主义的观点，我们并不是在某个抽象的领域里发现数学实体。相反，数学是由人类的思维构建的，因此避免了困扰柏拉图主义者的问题，即我们究竟如何得出数学命题。
所有人都对数学有一种原始的直觉，从自然数1、2、3开始......这意味着我们对数字1的含义有一种直接的确定性，而且形成数字1的心理过程可以重复得到2，然后是3，以此类推。在这之后，我们可以构建数学的其他领域，如算术、代数和集合理论。
这种观点之所以吸引人，是因为它仍然坚持认为数学是先验的、普遍的。由于数学语句的构建是一种心理活动，它是先验的，这使我们能够确定像1+1=2这样的语句是真的。此外，所有人类对数学都有相同的直觉，这一事实使我们能够提出相同的数学并达成一致。
此外，根据一种说法，数学是建构的这一论点似乎确实提供了 "关于算术和人脑之间关系的最佳解释"。现代心理学似乎支持原始数学直觉的想法，我们有某些先天的范畴，我们根据这些范畴来理解世界。
然而，直觉主义也有一些缺点。主要的问题是，虽然许多定理既可以用经典方法证明，也可以用直觉方法证明，但直觉主义的定理通常要长得多，因此不那么优雅，导致许多数学家不愿意接受它。
但优雅并不是真理的标准，所以仅仅因为直觉主义不如柏拉图主义优雅而否定它并不完全是最理性的做法。
总而言之，在我比较关于我们如何获得数学知识的两种观点——柏拉图主义和直觉主义之前，一个简单的思想实验显示了为什么看似直观的数学观点，经验主义是站不住脚的。
