认真审视曲线缝合问题

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

曲线缝合设计最近出现在罗杰·沃尔特的专栏中。学生，特别是那些视觉或触觉取向的学生，很容易画出或构造出图形，如图1中的经典抛物线。探索曲线拼接不需要简单的工艺项目。在数学教室中使用曲线拼接可以帮助学生提高他们的归纳和分析技能。

图1：经典的曲线缝合抛物线。

变化

在展示了曲线缝合抛物线及其仅使用直线看似创建曲线的属性后，可以询问学生如何概括设计以及如何以有趣的方式组合抛物线。在纯粹的图形变化中，我们可能会提到线宽和颜色。更重要的是认识到该图形不依赖于图1中作为其脊线的直角。也许最有趣的数学问题是，“图1中的曲线是什么？”这个问题不容易回答，但是讨论这个问题的含义是很有用的。“曲线”仅仅是一种视错觉，还是具有某种数学真实性？概括地说，当轴的角度从0°变化到180°时，曲线如何变化，至少是定性的变化？乔恩·米林顿在他的书《曲线缝合:缝合美丽数学图案的艺术》( 1989)中有一个非常简单的证明，所有“经典”的曲线缝合图形，无论其轴的角度如何，都是抛物线轮廓。

抛物线可以以各种方式并置。这方面的例子可以在图2和图3中看到。

图2

图3

这样的设计可以用直尺和铅笔或钢笔手绘，但如果能用计算机绘制会很有帮助，因为某些设计的特点只有在使用很多线条时才能看得出来。我不确定最好的曲线拼接软件，但我发现PostScript可以用来完成这项任务。一个雄心勃勃的高年级学生可能会尝试用PostScrip创作设计。本文末尾列出了相关资源。

如果有挑战，学生可能会想到两种有趣的技术来组合和修改图2所示的结构。首先，抛物线可以重叠。例如，在图4中，抛物线绘制在正方形的每对相邻边上。这种技术可以应用于任何多边形。

图4

第二种变化更有趣。考虑标准抛物线构造，其从3个不共线的点A、B和c开始。边AB和BC各自被分成n个等长的线段。在图1中，A、B和C形成一个直角，AB = BC。这两个属性都不是必需的。从A到B到C连续地给点编号，这样A是点1，B是点n + 1，C是点2n + 1。这个图形是由AB上的每个点i连接到BC上的点i + n构成的。这最好被认为是将一个点连接到前面n个点的另一个点。

如果我们在一个正多边形内画图，我们就不必局限于连接相邻边上的点。标记多边形1的某个顶点，并沿逆时针方向在多边形周围创建等距点，这样下一个顶点是点n + 1，之后的顶点是2n + 1，依此类推。我们可以通过将每个点i(其中1≤ i ≤ n +1)连接到点i + n + j来创建一个图形，如果j = 0，我们得到一个普通的抛物线。如果j是正的，我们得到一个类似抛物线的图形，它至少跨越多边形的三条边。(如果j为负会怎样？)这可以产生诸如图5的图形，其中对四个顶点中的每一个重复该构造。

图5

请注意，图5中的构造不包括多边形本身的边。如果需要，可以出于美观的原因添加这些边缘。为n和j选择适当的值会产生一些令人惊讶的图案，如图6所示。

图6

我们可以对这样的设计提出疑问:中间的空间有多大？如果一个人想把一个设计画在另一个里面，这是很重要的。n和j的什么值产生退化的设计？也可以使用相同的封闭多边形和n来绘制设计，但是使用两个或更多的j值，本质上是将一个设计叠加在另一个上。这就提出了一个问题，我们如何控制产生的“曲线”的间距。有时更少的线条会产生有趣的设计。

例如，考虑图7，它可以提供一个有趣的难题:你能在图中找到多少个三角形？图7使用一个正方形的顶点，n = 3，j = 1。

图7

一种不同的设计

常见的曲线缝合设计始于一个规则的多边形，通常有许多顶点。然后，每个顶点都与其他顶点相连。然而，如果我们从一个顶点开始，将一条线连接到k点之外的顶点，然后对那个顶点做同样的事情，继续直到一条线终止于原点，会发生什么呢？称该路径为k阶循环，这样的设计如图8所示。在这种情况下，该图使用十边形的顶点，其中绘制了阶为2、3和6的循环，每个循环都从相同的顶点开始。