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2022年新高考1卷数学难度有多大? 这道解答题, 不再有送分的小问

在今年的高考中,新高考一卷的数学试题引发了巨大的争议,原因就两个字:太难。那么今年新高考一卷数学的难度究竟有多大?不少考生直言考完数学后整个人都懵了,甚至有老生在考场上就已经崩溃了,还有部分老师将新高考一卷数学与1984年和2003年数学相提并论,可见这套试卷的难度。

这套试卷的难度主要体现在三个方面:一是基础题的比例小,中等题偏多,从而导致整体难度稍大;二是考查对知识的深入理解与全面掌握,比如多选题的最后一题就考到了很多学生容易忽略的“导数对称性与函数对称性的关系”这一知识点;三是计算量大,特别是用通法解题的计算量,比如第7题如果不用泰勒展开式,那么计算量非常大。

另外,在以前的数学试卷中,圆锥曲线的解答题的第一小问一般来说考查求曲线的方程比较多,这一问的难度也不大。但是,在今年新高考一卷数学的圆锥曲线解答题中,第一小问就是求直线的斜率,这也在无形之中增加了试卷的难度以及加大了考生的心理压力。

不过,直言考生静下心来,圆锥曲线解答题第一小问的难度实际上并不大,本文就和大家分享一下这道题。

由题意知点A在双曲线C上,那么只要将点A的坐标代入双曲线就可以求出双曲线的标准方程,这一步比较简单。

根据题意可知,如果直线l的斜率不存在,那么直线AP、AQ的斜率之和不可能为0,即直线l的斜率肯定存在,那么可以设出直线l的方程为:y=kx+m。然后联立直线l和双曲线C的方程,消去y,整理后得到关于x的一元二次方程。所以由韦达定理就可以得到x1+x2与x1x2的值。

接下来,用点的坐标表示出AP、AQ的斜率,并且它们的和为0,然后用x1、x2表示y1、y2,从而得到关于x1、x2的关系式,最后求出k的值。

第一小问的思路比较简单,但是计算量还是比较大,这就需要考生在计算过程中更加细心。再看第二小问。

由于AP、AQ的斜率之和为0,那么直线AP、AQ的倾斜角互补,所以我们可以设出各自的倾斜角分别为α、β(α<β),则α+β=π。由直线AP、AQ、x轴的位置关系可知,β=α+∠PAQ,又tan∠PAQ=2√2,则tan(β-α)=2√2,故tan2α=-2√2。根据二倍角正切公式可以得到tanα=√2,这样就求出了直线AP、AQ的斜率,从而得到各自的方程。然后与双曲线方程联立,就可以求出点P、Q的坐标,从而可以求出|PQ|的值。再用点到直线的距离公式,可以求出点A到直线PQ的距离,从而求出面积。

这道题的难度还是不小,也没有了以往圆锥曲线送分的小问,所以不少同学看见题目就懵了。其实,对很多同学来说,这道题的难度还没有第7题大,你觉得呢?

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