已知a+b=√15,求ab的最大值
主要内容：
本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+b=√15条件下的最大值。
思路一：直接代入法
根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。
ab
=a(√15-a)
=-a^2+√15*a
=-(a-√15/2)^2+15/4，
则当a=√15/2时，ab有最大值为15/4。
思路二：判别式法
设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。
a+b=√15,
a+p/a=√15,
a^2-√15a+p=0,对a的二次方程有：
判别式△=15-4p≥0,即：
p≤15/4,
此时得ab=p的最大值=15/4。
思路三：三角换元法
将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。
由a+b=√15，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，
设a=√15(cost)^2，b=√15(sint)^2，则：
a=√15(cost)^2,b=√15(sint)^2,代入得：
ab=√15(cost)^2*√15(sint)^2,
=15/4*(sin2t)^2,
当sin2t=±1时，ab有最大值=15/4。
思路四：中值代换法
设a=√15/2+t,b=√15/2-t，则：
a=(√15/2+t),b=(√15/2-t)
此时有：
ab=(√15/2+t)*(√15/2-t)
=(15/4-t^2)。
当t=0时，即：ab≤15/4,
则ab的最大值为15/4。
思路五：不等式法
当a，b均为正数时，则：
∵a+b≥2ab,
∴(a+b)^2≥4ab,
15≥4*ab,
即：ab≤15/4,
则ab的最大值为15/4。
思路七:构造函数法
设函数f(a,b)=ab-λ(a+b-√15),
则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-λ,
f'λ=a+b-√15。
令f'a=f'b=f'λ=0，则：
b=λ,a=λ。进一步代入得：
λ+λ=√15,即λ=√15/2.
则有a=√15/2,b=√15/2.
ab的最大值=√15/2*√15/2=15/4。
