老黄现在分析2022年高考的数学真题，并不是想证明这些题难还是易，更不是为了展示自己有多能，而是为将来要参加高考的学生们服务的。作为 平时学习，不能把问题讲完就算了，而是要把问题讲透、讲破！今天老黄就要来分析这么一道被老黄“玩”坏了的2022年高考数学理科全国乙卷的概率题。
题目是这样的：从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____.
分析：这道题要分两步讨论。
(1)5选3一共有多少种组合？就是运用求排列数的公式C(5,3)=5!/(3!(5-3)!)=10，结果有10种可能；
(2)分析这些可能性中，甲、乙同时入选的情况有多少种。其实一共只有3个人选，而甲、乙两人已经占了两个名额，剩下一个名额，给其余3个人去争取。因此这是一个3选1的问题，结果是C(3,1)=3。甲、乙同时入选的情况有3种。
综上，甲、乙都入选的概率有3/10, 即0.3.
如果这些都是你自己想出来的，而且是无障碍地想出来的。那基本上这类题目对你来说，就没有什么难度了。但如果你是通过其他人的结果学到的，比如通过老黄分析学到的，或者解题的过程仍存在障碍，那你就要加强这类题型的训练了。而加强训练，并不需要再去找同类题型的问题来练习，只需在这道题的基础上，做一些修改，就可以了。比如，其它条件不变：
①若一共有6名同学呢？
不论问题怎么改变，都可以用上面的“二步法”来分析：
(1)这次是一个6选3的问题，也就是C(6,3)=6!/(3!(6-3)!)=20，结果有20种可能；
(2)现在剩下的1个名额给4个人去争取，所以是一个4选1的问题，结果是C(4,1)=4.
记甲，乙同时被选上的事件为A，那么P(A)=4/20=0.2. 也就是说，增加一个候选人，甲，乙同时入选的概率下降了10%，符合实际！因为有些人可能出错，得到一个不符合实际的答案，却没有注意到。所以得到每一个答案后，最好想一想，这个答案是否合理。
②如果随机选4名呢？
(1)变成5选4的问题，也就是C(5,4)=5!/(4!(5-4)!)=5，结果有5种可能。其实可以反过来想，5选4，相当于只有一个人被淘汰，每个人被淘汰的概率是相同的，所以有5种可能。这样更直接。即C(5,4)=C(5,1)=5.
(2)现在剩余2个名额，给其余3个人，所以是一个3选2的问题，结果是C(3,2)=3.
因此P(A)=3/5=0.6. 甲、乙同时入选的概率大大提升了，这也是合理的。
③那么如果①②同时成立呢？
(1)6选4，C(6,4)=6!/(4!(6-4)!)=15，一共有15种可能；
(2)4选2，C(4,2)=4!/(2!(4-2)!)=6，一共有6种情况；
P(A)=6/15=0.4. 可以看到，增加一个候选人并同时增加一个名额，这是很划算的一件事情。小学生就必须懂 的道理哦。（澳大利亚队加入亚足联，亚洲足球在世界杯增加半个名额，客观上对中国足球也是有利的。只不过，大家都懂的！所以实际要看自身实力和增加的候选人的实力，不能读死书哦）
④还没完，这次我们把问题改成：甲、乙至少有一人入选的概率是____.
(1)C(5,3)=10种可能；
(2)不妨设入选的3人中包含甲，那么剩余2个名额给其余4人，所以甲入选的可能性有C(4,2)=6种. 而乙单独入选的可能性有C(3,2)=3种，就是剩余2个名额给除了甲之外的3人。
设“甲、乙至少有一人入选”为事件B，那么P(B)=(C(4,2)+C(3,2))/C(5,3)=0.9.
其实，甲、乙同时没有入选只有1种可能，因为三个名额正好给了其余三个人。因此P(B)=1-1/10=0.9. 有时候换个角度想问题，问题就会变得很简单。但如果增加候选人，问题又会变得复杂起来。
⑤如果甲、乙至多有一人入选呢？
设“甲、乙至多有一人入选”为事件C，那么P(C)=(2C(3,2)+1)/C(5,3)=7/10=0.7. 就是甲单独入选有C(3,2)种可能，乙单独入选也有C(3,2)种可能，两人同时不入选只有1种可能。
最后一个问题：P(C)=1-P(A)恒成立吗？
当然，我们还可以拓展出无穷无尽的问题。当你拓展得越来越深入的时候，你可能会把大学概率学的知识都给拓展出来了。足够深入的话，你甚至有可能拓展出前人所没有发现的知识。有一些数学家，就是这样拓展出来的嘛。
