这是2022年新高考数学全国卷II倒数第二题，是一道关于双曲线的开放式题目。关键的第二小题，要求从三个条件中选择两个，证明第三个。这里面需要一定的数学直觉。因为你要凭着自己的数学直觉，去挑选一个比较容易证明的结论。
试想一下，明明选条件②③证明①，对你来说并不难，但你偏偏选了①②，证明③，结果却证明不出来，那该是多么悲催的事情啊。或者你花了比较多的时间，在考场上做“选择题”，那也不合适啊。对于有选择困难症的人来说，更是一种灾难。因此在这里，你的数学直觉就会起到关键的作用。
有一次在看中国女足的比赛时，我问周围的年轻人，你们知道场上中国球员张馨和其她二十一位球员，有什么区别吗？面对这样的问题，他们一个个嗤之以鼻，自然也就一个也答不上来了。殊不知，老黄这是在锻炼他们的直觉啊。那你知道张馨和其她二十一位球员有什么区别吗？
言归正传，我们先来看看题目：
设 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a>0, b>0)的右焦点为F(2,0), 渐近线方程y=±根号3 x.
(1)求C的方程；
(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A, B两点，点P(x1,y1), Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0, y1>0. 过P且斜率为-根号3的直线与过Q且斜率为根号3 的直线交于点M, 从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：
分析：(1)第一小题是毫无难度的，只要熟练双曲线的渐近线方程公式，关键是不要把实轴和虚轴给搞反了。因为老黄自己的孩子刚刚解过，就把实轴和虚轴搞反了，一旦搞反，全题遭殃，一分也得不到了。
(2)老黄刚才说了一大堆，其实老黄自己的数学直觉也是很差的。也不知道该选什么条件比较好。或许对老黄来说，选什么条件都差不多吧。不过这并不表示对每个人都是一样的，所以千万不要以为老黄前面都是胡说的哦。
这道题不用画图像就能解决的，自然都不是一般人。对老黄这种只有画了图，才有可能解决的人来说，画这个图都十分费劲。如下图，看它像不像一张蜘蛛网，可能有不少人看到这个图脑瓜子都会嗡嗡的吧。
老黄和考生不同，考生要考自己的数学直觉，选出两个合适的条件，使证明变得相对容易一些。而老黄却要把三种选择，全部进行统一，用一种统一的套路，将三种选择通通给证明了。然后供正在学习的学生们，去分辨哪一种才是最适合自己的。并在这个过程中培养出自己的数学直觉。所以目的不同，要求不同，做法也不同，请不要动不动就嘲笑老黄了，老黄真是贼可怜的啦。
不论选择什么条件，都是选设A，B，M的坐标，PM，QM的方程，分别列PM，QM与双曲线的交点方程，得到P，M的横坐标，并用直线方程表示纵坐标，然后表示出PQ，AB的斜率。最后一步就是依据条件不同，去证明结论了。解这类题，一个清晰的思路，是解题的关键。
解：(1)依意题, a^2+b^2=4, b/a=根号3,
得：a=1, b=根号3,
∴C的方程为x^2-y^2/3=1.
解：(2)当①③成立时, 设A(a, 根号3 a), B(b, -根号3 b),【老黄一开始靠自己超逊的数学直觉做出这样的选择，后来才决定把三种选择都给解决了的】
M(m, n), m=(a+b)/2, n=根号3 (a-b)/2,【因为M是AB的中点，所以运用了中点的坐标公式】
PM：y=-根号3 (x-m)+n, QM：y=根号 (x-m)+n,【一开始老黄想代入a,b表示，结果发现得到的方程实在是太复杂了，所以改用m,n表示】
当x^2-(-根号3(x-m)+n)^2/3=1时, x1=(3+(根号3 m+n)^2)/(6m+2根号3 n),【这是PM与双曲线的交点方程，得到的是P点的横坐标】
当x^2-(根号3(x-m)+n)^2/3=1时, x2=(3+(根号3m-n)^2)/(6m-2根号3 n),【这是QM与双曲线的交点方程，得到的是Q点的横坐标】
PQ的斜率为：k1=(-根号3 (x1-m)+n-根号3 (x2-m)-n)/(x1-x2)=3m/n,
AB的斜率为：k2=根号3 (a+b)/(a-b)=3m/n=k1,【看着好像挺轻松的，实质上老黄算了半天，当然，如果在高考现场，老黄肯定不会算的，你放心好了。直接一句“化简，得：k1=k2”搞定它，不服让阅卷老师自己算一算，看老黄写得对不对】
②PQ//AB得证！
下面两种选择用图片的形式展示，因为会出现很多重复段落：
已知①②，证明③，最后一步证明M是AB的中点。满足中点坐标公式，就是中点，因为线段的中点是唯一的。
已知②③，证明①，同样证明M是AB的中点。你说线段的中点能不在线段上吗？
现在，你能告诉老黄，哪一种选择更适合你吗？考场上你能通过自己的数学直觉快速做出判断吗？或者你还有更好的方法吗？不妨分享出来。
