大家好！本文和大家分享一道2022年高考数学真题。这道题是2022年高考全国甲卷文科数学的第21题，也就是文科数学的压轴题，同时也是甲卷理科数学的第20题。这是一道抛物线的综合题，综合考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系以及直线的斜率与方程等知识。
这道题的第一小问很简单，但是第二小问却难住了不少考生。
先看第一小问：求抛物线C的标准方程。
由于点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，所以|MF|就是焦半径。根据抛物线的定义可知，抛物线y^2=2px的焦半径为x0+p/2。又由于直线MD垂直于x轴，所以点M的横坐标就等于点D的横坐标，所以|MF|=p+p/2=3，解得p=2。所以，抛物线C的标准方程为y^2=4x。
再看第二小问：求直线AB的方程。
分析：由于直线MN、AB的倾斜角分别为α、β，则两直线的斜率分别为tanα、tanβ。然后再根据点M、N的坐标表示出直线MN的斜率，根据点A、B的坐标表示出直线AB的斜率，再找出两直线斜率之间的关系，最后用两角差的正切公式进行转化，从而求出直线AB的斜率。
解答：设M(m^2/4,m),N(n^2/4,n),A(a^2/4,a),B(b^2/4,b)。由于点M、N都在抛物线上，那么直线MN的斜率肯定不为0，且直线MN过点D(1,0)，所以可设直线MN的方程为：x=sy+1。联立直线MN和抛物线方程，消去x，根据韦达定理可得mn=-4。
由于直线MD与抛物线有两个交点，所以直线MD的斜率也不为0，于是可以表示出直线MD的方程，再与抛物线方程联立，消去x，并根据韦达定理可得ma=-8。又mn=-4，所以a=2n。同理可以得到b=2m。
接着根据斜率公式就可以得到直线MN的斜率是直线AB斜率的2倍，即tanα=2tanβ。
要使α-β最大，则需要β最小，即0＜β＜π/2，根据两角差的正切公式可知，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。接下来再利用基本不等式就可以求出当α-β取最大值时直线AB的斜率。
然后设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，就可以求出直线AB的方程了。
第二小问的难度不小，在设直线方程时也有技巧。如果根据y=kx+b来设直线方程，那么我们就需要讨论直线斜率是否存在，因为直线方程y=kx+b不能表示斜率不存在的直线。但是，根据分析我们可以发现，这些直线虽然斜率可能不存在，但却都不能为0，所以我们就可以用x=my+n的形式来设直线方程，这样就免去了分类讨论的麻烦。
