有一位网友在老黄的作品下面留下了一个一般人看不懂的神回复：“高等数学是普通人可以掌握的数学，但并不是真的高等数学。真•高等数学，一般人根本也搞不懂，那种范畴就是神的范畴，具有创造性的数学。”
没错，高等数学就是这样的一门学科，它可以很简单，普通人都可以掌握，但如果你想去探究它的本质，你就会发现，那是人类做不到的，只有神才能做到的事情。
特别是当你重复做同一类问题的时候，你就会越发觉得，高等数学也不过如此了。老黄此前在《老黄学高数》系列视频第219讲中已经介绍了用聚点定理的推论——致密性定理证明柯西收敛准则的充分性。如果此前你已经有认真学过，这里要用聚点定理证明柯西收敛准则的充分性，就变得异常简单了。这是老黄对实数完备性六个基本定理的等价证明中，最后的一环。证明之后，整个实数的完备性就得到证明了。
试用聚点定理证明柯西收敛准则的充分性.由于必要性只需用极限的定义就可以证明，所以这里只证充分性。
证：设{an}满足: ∀ε>0, ∃N>0, 使m,n>N时, 都有|am-an|<ε.【这就是柯西收敛准则的充分性条件，意为：下标比正整数N大的任意两个项之间的距离小于ε。还是那个道理，这个N相当于，告诉你，这个世界上有个人比你高。不管你穿多高的鞋，都能找到一个比你高的人，但穿太高的鞋，你也站不起来啊。所以最好不要用“杠”的思想来对待数学。除非你想成为“最接近神的人”，因为这个世界上，没有人能杠得过他老人家。】
取ε0=1, ∃N1, 当n>N1, 有|an-a_(N1+1)|<1, 有|an|<|a_(N1+1)|+1.【从无数多的身高差(ε)中，任意找一个正数，比如身高差1厘米，那么这个世界上也存在一个人，叫做N1，只要比N1高的人，都比你高，不过这里要的是任意两个比你高的人，它们的身高差都小于1厘米。老黄这样说，你应该比较容易明白吧。之所以要取这个ε0，目的是为了证明所有比你高的人中，他们的身高是有一个上界的，即数列an在第N1项之后的所有项构成的新数列是有界的，而|a_(N1+1)|+1就是其中的一个界】
若S={an|n=1,2,…}是有限集，则{an}必有常数子列, 收敛.【如果数列中不含无限多个相等的项，那么若以{an}各项组成的点集S是一个有限集，{an}就必有常数子列。这点容易造成理解上的困难。首先，{an}是无穷数列，有无穷多个项，变成点集之后，因为点集不算重复的点，所以变成有限集的原因，就是因为{an}中不同的项只有有限个，而有无穷多相同的项 ，它们组成了一个常数子列。而常数子列一定是收敛的】
若S是无限集, 由聚点定理, S有一聚点A, 由聚点定义可知，存在{a_(nk )}, 使lim(k→∞) a(n_k )=A. 即{an}必有收敛子列.【一定存在{an}的一个收敛子列，包括常数列的情形，而这个收敛子列是以聚点A为极限的】
又∀ε>0，∃N>0，当k,m,n>N时，|am-an|<ε/2, |a_(nk)-A|<ε/2,【前面的不等式是柯西收敛准则的充分性条件，结论待证，后面是收敛子列的极限定义不等式】
∴当n>N时，任取k>N，则nk>=k>N，有【可能很多小伙伴不知道nk为什么不小于k. 因为nk是原数列的下标，k是子列中对应的项的下标。原数列的第2项，可能是子列的第1项，即nk=2时，k可能等于1. 但原数列的第1项不可能是子列的第2项，即nk=1时, k不可能等于2. 以此类推，所以nk>=k.】
∴lim)(n→∞)an=A. 得证！
你可以温习一下《老黄学高数》系列视频第219讲中, 用聚点定理的推论证明柯西收敛准则的充分性的内容，对比一下，它们之间有哪些相同点和不同点，对你的高数学习会有很大的帮助的哦。
