我们知道，互为相反的收敛数列，它们的极限是互为相反的。即当{an}收敛于a时，那么{-an}收敛于-a. 用极限的形式表示为：lim(n→∞)an=-lim(n→∞)(-an).那么你知道有界发散数列的上、下极限是否有类似的结论吗？
其实这是显而易见的，不过正是因为它显而易见，所以很多人可能容易产生误解。以为它们的上极限互为相反，下极限也互为相反。其实并非如此。
正确的关系应该是，互为相反的数列，一方的上极限等于另一方的下极限的相反数。即{an}的上极限是A时，{-an}的下极限为-A. 当然，反之也有{an}的下极限为a时，{-an}的上极限为-a.
证明这个结论，只需运用上、下极限的ε-N充要条件.
设{an}是有界数列，求证：
(1)▁lim(n→∞)an=-lim ̅(n→∞)(-an); (2)lim ̅(n→∞)an=-▁lim(n→∞)(-an).
证：(1)记▁lim(n→∞)an=a, 则∀ε>0，
小于a-ε的an至多有限项，即{-an}中大于-a+ε的至多有限项，【这就完美地从{an}下极限的充要条件，过渡到{-an}上极限的充要条件，下同】
而小于a+ε的an有无限项，即{-an}中大于-a-ε的有无限项，【不知道有没有小伙伴奇怪，说好的ε-N充要条件，为什么只有ε，没有N呢？其实这是高数到了熟练的情况下的一种简略说法。老黄打个比分，你就懂了。比如说，只要你说出一个N米，距离地球N米之外，都能够找到无数多个星球。换句话说，地球无论多远之外，都有无数个星球。前面的说法有N，后面的说法没有N，两者本质上其实是没有什么区别的。老黄举的这个例子忽略了ε。因为如果全部考虑进去，例子就会太复杂】
∴lim ̅(n→∞)(-an)=-a, 即▁lim(n→∞)an=-lim ̅(n→∞)(-an).
(2)同理可证：lim ̅(n→∞) an=-▁lim(n→∞)(-an).【或直接由(1)的结论：▁lim(n→∞)(-an)=-lim ̅(n→∞)an得证！】
数学是百科之母，有机会还是要学好的，至少要了解一下吧！不要总拿“现实中用不上”搪塞，你可以想像自己的子子孙孙都用这句话搪塞，那是何其悲哀。当然，那是不可能的，最终都只是在为自己没有学好找籍口罢了。
