一、向量的基本概念
1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
（向量两大要素：大小和方向，二者缺一不可。向量的大小是代数特征，方向是几何特征。）
2、向量的表示：
向量可以用有向线段（带有方向的线段）表示，有向线段的长度表示向量的大小，线段的箭头指向就是向量的方向，线段的起点叫做向量的起点，线段的终点。
一般地，可以用有向线段的两个端点（并且在端点上加上“→”符号）来表示，也可以用加租的小写字母来表示。
例如：下图中向量表示为AB向量（无法在AB上添加箭头，抱歉！）（读作AB向量）或“a“（读作a向量，书写时应在字母上加“→”符号）
3、向量的模（长度）：
（1）向量模的概念：表示向量的有向线段的长叫做向量的模，也叫做向量的长度，如上图中，a向量记作|a|。
（2）平行向量的概念：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，用符号“∥”表示。
（3）零向量的概念：模为零的向量叫做零向量，记作“0”，零向量的方向是不确定的，零向量与任一向量平行。
（4）相等向量的概念：如果两个向量的模相等且方向相同，那么这两个向量相等，即：互为相等向量。
（5）相反向量的概念：如果两个非零向量的模相等且方向相反，那么这两个向量互为相反向量（负向量）。
二、向量运算法则
1、向量的加法：
①三角形法则：
已知非零向量a，b（已知向量的方向和大小），在平面上任取一点A，作(AB向量) =a，(BC向量)=b，并且作(AC向量) ，则(AC向量) 叫做向量a与向量b的和，记作a+b。
如图所示：(AC向量)=a+b
②平行四边形法则：
已知非零向量a，b（已知向量的方向和大小），在平面上任取一点A，作（AB向量）=a,（AD向量）=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则（AC向量）=a+b。
如图所示：（AC向量）=a+b
③运算律：
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
2、向量的减法：
已知非零向量a，b（已知向量的方向和大小），在平面上任取一点O，作(OA向量) =a，(OB向量)=b，作(BA向量)，则(BA向量)=a-b。
一个向量减去另一个向量等于加上它的相反向量，即：a-b=a+-(b)。
如图所示：(BA向量)=a-b
三、向量的数乘运算
规定：当向量a不为零向量时，若λ＞0时，λa与a同向；若λ＜0时，λa与a反向；若λ=0时，λa=0。
2、数乘运算的几何意义：
λa是把向量a沿a的方向或a的反向放大或缩小到原来的|λ|倍。
3、运算律：
向量的加法、减法、数乘运算叫做向量的线性运算。
四、向量的坐标运算
1、什么是向量的坐标？设(AB向量)的起点A的坐标为（a，b），终点B的坐标为（c，d），则(AB向量)的坐标为（c-a，d-b），(AB向量)的模为√【（c-a）^2+（d-b）^2】。
2、向量的坐标运算公式：设向量a=（e，f），向量b=（g，h），λ∈R，则有：
3、线段的定比分点公式：（α≠0）
设（AB向量）=λ（BC向量），A（a,b），B（c,d），C（e,f），则有：
证明如下：
已知（AB向量）=（BC向量），A（a,b），B（c,d），C（e,f），所以
化简得到：
当=1时，（AB向量）=（BC向量），此时B为A、C中点，则有中点坐标公式
4、三角形重心公式：
设△ABC的三个顶点坐标分别为：A（a,b），B（c,d），C（e,f），重心G（x,y），则有重心坐标公式
证明如下：
因为△ABC三个顶点为：A（a,b），B（c,d），C（e,f），G（x,y）为三角形的重心（三边中线的交点，将中线分成2：1的比例），
设D为B、C的中点，D【（c+e）/2，（d+f）/2】则有AG/DG=2/1，即：（AG向量）=2（GD向量），
所以，根据定比分点公式可得，
5、向量平移公式：
如果点P（x,y）按向量a=（m,n）平移到点P‘（x’,y’），则（OP’向量）=（OP向量）+a（O为原点），即：
五、向量的内积
1、向量的夹角：
（1）概念：已知两个非零向量a和b，作（OA向量）=a,（OB向量）=b，我们把由射线OA与OB所形成的角∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作
（2）规定：
①向量的夹角的取值范围为[0°，180°]；
②当
③当
④当a×b≤0时，
⑤当a×b≥0时，
2、向量的内积：设向量a=（e，f），向量b=（g，h），它们的夹角为。
（1）向量坐标公式：
（2）什么叫向量的内积（数量积）？两个非零向量a，b的模与它们夹角的余弦之积叫做向量a，b的内积，也叫做数量积，其结果为一个数量。
（3）向量的夹角公式：
向量正如一把数学工具
