你是否听说过引起数学领域危机的施瓦兹灯笼（Schwarz lantern）？施瓦兹灯笼是一种特殊的几何构造，它通过以特定方式排列的三角形来形成一个三维形状。这个概念挑战了我们对于几何形状表面积的直观理解，展示了一些看似简单的几何问题实际上可能隐藏着复杂和出人意料的答案。今天，我们就来解构一下这个灯笼，看看它有何神奇之处。
让我们以一个数学上的趣味问题作为开始，那就是“圆周率等于4”的悖论。这个悖论看似简单，却带来了有趣的思考挑战。首先，画了一个直径为1的圆。
根据数学公式，这个圆的周长应该是圆周率π乘以它的直径，也就是π。接着，我们在这个圆周围画一个边长等于圆直径的正方形。
由于正方形四边各为1，所以它的总周长就是4。现在，像下面这样去掉四个角，
新形状的周长仍然是4。同样地，把新形状的所有角切掉，周长仍然保持不变。
一直这样操作，周长始终是4。与此同时，曲线的形状越来越接近圆。我们得出结论，圆的周长等于4。换句话说，圆周率等于4。非常奇怪也很精彩。这个数学悖论已经存在了数百年，成为数学历史上的一个经典案例，展示了几何直觉和数学实际之间的差异。
阿基米德采用了一种与此类似的方法来估算圆周率的值。从包围圆的正方形出发，他采取了这样的方式：
从而将正方形转换成正八边形。由于这种切角操作，得到的八边形周长会小于4，略超过3.31。进一步切割八边形的角形成正16边形，其周长约为3.18多一点。通过继续这样切割角，得到的曲线逐渐逼近圆的形状。与此同时，这些经过切割的曲线的周长也逐步接近圆周率的真实值。由此可见，通过不同的方法近似圆形，可以得到不同的结果。
我们怎么能确定哪一个是正确的呢？当涉及到像圆这样的曲线时，它的长度究竟是多少？当然，对于直线，直接用直尺测量它的长度就可以了。但是对于一个平滑的曲线呢？怎么测量它的长度？我们可以像这样沿着曲线滚动尺子，
这说起来容易做起来难，但至少在理论上，这是定义和测量像这样平滑曲线的长度的完全可行的方法。那实际操作呢？你会怎样去估算这个曲线的长度？就像我们刚才做的那样似乎是个好办法：用由直线段组成的另一个曲线来近似原曲线，并且逐段测量其总长度，来近似原曲线的长度。
那你会怎样找到曲线的一个好的直线近似呢？首先想到是在曲线上挑几个点，用直线连接它们。然后像这样测量。
为了更精确地估计一条曲线的长度，我们可以采用逐渐细化的直线段来近似这条曲线。随着这些直线段长度的减小，最终趋近于零，折线的总长度将更加接近曲线的真实长度。在处理平滑曲线时，数学上可以证明，只要这些分段的长度足够小，接近于零，这种直线段近似的方法就能准确地给出曲线的实际长度。这种方法避免了之前在切割角落时出现的歧义性，因为它是基于将曲线划分为越来越小的部分，直至它们的长度几乎消失，从而达到精确测量曲线长度的目的。
当然，大多数人都知道，除了切角，阿基米德还像这样精确地逼近圆来估计圆周率，
他通过构造紧密贴合圆形的内接和外切多边形，从圆的内部和外部进行两种不同的几何近似。随着这些多边形边数的增加，它们越来越逼近圆的实际形状，从而使得对圆周率的估计更为精确。在这种方法的基础上，阿基米德提出了他对圆周率的估计，
下面，我们看下施瓦茨灯笼的魔法。对于一个平滑的曲线，它的长度就是越来越精细的直线近似长度的极限。显然，类似的事情也应该适用于平滑的曲面，对吧？
拿球体为例，标记球体上的几个点。将这些点连接成三角形。
在球体上使用更多的点来获得更好的近似。
这是对球体相当不错的近似了，而且这个三角形近似的表面积很容易测量，肯定非常接近球体的表面积。
继续精化，让所有这些三角形边缩小到零，这样：
三角形近似应该与球体变得无法区分，
三角形近似的面积应该收敛到球体的表面积。
同样的情况也应该适用于任何合理的表面。对吧？是也不是，真实的情况是，只要边缩小到0，三角形近似就变得与表面无法区分。然而，它们的面积不一定接近球的表面积。
大约在1880年，数学家赫尔曼·施瓦兹（Hermann Schwarz）发表了他的著名的反例。
在他的反例中，一个圆柱面被一些三角形近似（像灯笼一样）。
令人惊讶的是，如果你正确选择这些特殊的三角形近似，随着不断细化，它们的面积并不接近圆柱的真实表面积。实际上，你可以让这个灯笼的面积接近任何大于或等于圆柱表面积的值，甚至可以让它们接近无穷大。
这很疯狂！这是一个大问题。如果我们采用直接计算表面积的常规方法，也就是通过逐步细化三角形来近似表面，即使是对于像圆柱这样的简单形状，这种方法也可能会失败。那我们怎样才能可靠地计算表面积呢？解决这个难题成为了数学家的一项重大任务。
接下来，我会向你解释施瓦兹灯笼如何使我们的表面积计算方法失效，以及我们如何改进这些方法以准确计算表面积。此外，我还会讲解圆周率等于4的悖论是如何被解决的。
所以，施瓦兹灯笼是如何干扰我们估算圆柱表面积的传统方法的？
为了保持圆周率等于4的谜题，让我们近似一个非常特殊的圆柱，一个表面积等于圆周率的圆柱。
圆的直径和圆柱的高都是1。圆的周长是直径乘以圆周率，所以是圆周率。然后是蓝色圆柱的面积，就是这个周长乘以高度，也是圆周率。
为了构造这个圆柱的灯笼近似，将圆柱分成四个相等的圆柱。在每个圆上放置七个等距的红点，就像这样，
再放入三角形，灯笼就形成了。
这个特定的灯笼有四个水平的三角形带，并且每个级别上都有7个等距的红点，可以表示为
为了得到越来越精细的圆柱灯笼近似，只需增加带数和点数。
灯笼看起来越来越像圆柱，它们的面积接近圆周率。
现在做不同的操作：让我们增加带数，但点数p不变。
点数始终保持为5。灯笼的面积开始时是2.95，小于圆周率。但面积随着带数的增加而增加，
事实上，这些灯笼的表面积会无限增大！为了不用任何公式就能看出这是为什么，只需看看，当我们逐渐增加构成灯笼的水平带数时，可以观察到每增加一层，灯笼的表面积都会以基本相同的量增加。
随着带变得越来越薄，三角形将变得越来越平，每个带基本上都添加了下面的灰色区域，
这个相同的面积被无限次地添加，导致面积无限大，灯笼的面积就会爆炸性地增长到无穷大！很容易看出，出于同样的原因，将点数固定为任何其他数量，然后增加带数，将导致面积无限大。
我们刚才看到的灯笼细化，是施瓦兹的著名反例吗？显然不是，因为随着灯笼的不断细化，灯笼的面积朝着无穷大而不是圆周率发展。然而，这些特定的灯笼细化并不完全是我们想要的。为什么？还记得我们为球体做的三角形细化吗？所有三角形的边缘都缩小到零。当边缘缩小到零时，三角形近似变得与球体无法区分。
另一方面，灯笼三角形细化中的边缘并没有缩小到零。与此同时，灯笼最终并没有变成圆柱。从顶部看，灯笼并没有越来越像圆柱的顶视图中的圆。从顶部看，灯笼越来越像这样，
这是因为，到目前为止的灯笼细化中，我们只是增加了带数而不是点数。为了让三角形边缘缩小到零，并以这种方式保证灯笼近似与圆柱无法区分，我们必须让带数和点数同时无限增加。同时，我们想确保表面积爆炸性地增长到无穷大。听起来很难，但这里有一个重要的点要记住：让这两个数字同时无限增加有许多不同的方式。让我们发明一种既满足所有条件又能使边缘缩小的方式。这就我们追求的反例。
我们从点数为4开始。对于b，选择带数的最小值，使得灯笼的面积大于4。
为什么我们知道有这样一个特殊的带数呢？因为如果将点数固定在4，并增加带数，面积就会爆炸性地增长到无穷大，所以在某个时刻，这个面积必须大于4。这个特殊的b恰好是7。所以，带数为7，点数为4的灯笼是第一个灯笼。
下一个灯笼有5个点。这次的b是多少呢？我们选择b为使灯笼面积大于5的最小带数。这个特殊数字恰好是15。
以此类推。下一个p是6，我们也希望它的面积大于6，满足这一点的特殊带数是26。
然后是p=7等等。现在，这种特殊的三角形细化满足了我们所有的条件。点数和带数都无限增加。这意味着三角形的边缘会缩小到零。因为边缘缩小到零，灯笼的近似确实变得与圆柱无法区分。最后，表面积爆炸性增长，因为我们确保了每个灯笼的表面积都大于点数p。第一个灯笼的面积大于4，下一个大于5，再下一个大于6，然后是7，8，9，依此类推。
还有其他灯笼三角形细化表现良好并给出了正确的面积。这里有一个模式：4个点4个带，5个点5个带，6个点6个带，等等。当你做数学计算时，你会发现，这种灯笼细化的面积实际上确实收敛到圆周率，即圆柱的面积。
与我们的反例不同，灯笼表面的扭曲完全消失了，这意味着基本上每个小三角形都完全贡献于构成圆柱的面积。通过更详细地分析灯笼的面积公式，我们可以设计出灯笼细化，其面积接近于圆周率和无穷大之间的任何数字。
例如，我们可以使极限面积为4。为了使施瓦兹灯笼的构造与“圆周率等于4”的二维版本相似，我们可以选择用一个表面积等于圆周率的球体来代替原来的圆柱。就像对圆柱一样，对于球体乃至任何曲面，都可以应用施瓦兹灯笼的病理性扭曲三角形细化方法。
现在，这种细化对于一些三角形有效，有些则不行。搞清楚哪些有效哪些无效不仅在理论上重要，而且在我们使用可视化软件表示三角化曲面时也很重要。如果软件盲目地细化三角化，很可能会出现扭曲，这意味着因为三角形最终指向四面八方，虚拟光线不能以正确的方式反射，导致奇怪的视觉效果。
因此，在构建细化时，除了确保三角形的所有角都在目标表面上，并且三角形边缘缩小到零之外，还必须确保三角形越来越好地贴合目标表面。通常，通过关注其一个表面法线来衡量三角形贴合目标表面的程度，即与三角形成直角的尖刺，就像这个刺猬灯笼一样。
如果尖刺指向四面八方，那么就有很多扭曲。当你构建细化时，你想要追求的是，近似中的尖刺尽可能垂直于目标表面，就像这样，
以我们开始时的圆周率等于4的悖论细化为例。因为尖刺最终没有与圆圈对齐，所以曲线的扭曲导致极限中的额外面积。
另一方面，如果所有角都在平滑的曲线上，并且边缘缩小到0的直线近似中，尖刺会自动以正确的方式对齐。
你可能记得，文章开头我提到了一个关于数学领域存在的困境。确实，尽管我们针对平滑曲线和曲面的测量问题似乎找到了简单的解决方案，但这只是表面上的简易性。我要强调的是，文章中讨论的所有近似方法，主要适用于光滑的几何形状。然而，当面对那些极其扭曲或结构复杂的形状，比如分形曲线和曲面时，这些简单的解决方法就不再有效，问题变得更加棘手。这种情况下，我们需要依赖于一种称为测度理论的高级数学分支，这是一个专门研究如何准确测量复杂几何结构的长度和面积的领域。
