从学说话开始,爸妈就会有意教我们数学,首先认识最简单的数学概念,比如说1,2,3这样的数字。然后我们上幼儿园之后,就会学习简单的加减法。
其实,人类数学发展史,也很类似,也是从最简单的计数开始的。比如说我国古代采用的结绳计数方式,就是从简单的整数开始的。
这是因为,在人们最原始的潜意识里,整数是最简单最间接的计数方式,也能最代表大自然的本质。
不过,很快人们发现整数并不能完全描述大自然。就比如人们日常生活中经常会遇到这样的情况,家里有两个孩子,但只有一个苹果,只能把这个苹果分成两半,那么该如何表述半个苹果呢?
这时候人们发现整数已经不够用了,于是小数,也就是分数便出现了。而且人们也发现,分数与整数一样,也很简洁优美,同样能简单明了地表述大自然中的事物。
但是,很快一个意外发现彻底颠覆了人们对整数和分数的认知,让人们困惑很久。
这个意外发现就是根号2。在人们研究等腰直角三角形时,发现了一个让他们很困惑的情况,如果三角形的直角边为1,那么斜边长度,也就是根号2会是多少呢?
当时的数学家们通过反复计算,发现根号2好像是一个非常长的小数,不管如何计算,都算不完,而且这么长的小数似乎又没有什么规律。
这与分数的表述完全不同,三分之一用小数表达同样很长,但有规律可循。而根号2看起来没有任何规律,并不能用间接的分数表述出来。
紧接着人们还有更大的发现,像根号2这样的数看起来比整数还要多,而且多很多。于是人们开始了对无理数的研究,认为无理数一定暗藏着更多不为人知的奥秘。
在这种背景下,第一次数学危机就出现了,其中的代表就是芝诺悖论,相信很多人都听说过。
芝诺悖论是这样的。你和一只乌龟赛跑,由于乌龟跑得很慢,特意让乌龟在你前面100米的地方开始跑,也就是说,乌龟一开始就领先你100米,不过你的速度更快,是乌龟速度的10倍。
比赛开始后,你和乌龟同时起跑。当你跑100米的时候,也就是来到乌龟的起点,乌龟跑了10米,乌龟领先你10米。当你跑10米的时候,乌龟跑1米,这时候乌龟领先你1米。而当你跑1米的时候,乌龟跑了0,1米,这时候的乌龟领先你0.1米......
按照上面的规律来计算,乌龟永远领先你,你跑过的路程正好是乌龟之前跑过的,意味着你永远追不上乌龟。
但事实上呢?地球人都知道你很快就能追上并超越乌龟。而且只要你的速度比乌龟更快,不管乌龟一开始领先你多少,你都可以追上并超越乌龟。
这就引发了当时的人们对无穷概念的思考,该如何思考芝诺悖论呢?对任何长度进行一分为二需要无穷多的时间,但我们不可能在有限的时间里做无穷多的事情,如此就不会陷入芝诺悖论的矛盾当中。
实际上就等于1+1/2+1/4+1/8……得到的总和不可能是无穷大的数,道理是一样的。
而第二次数学危机,就是人们对无穷本质的理解,说白了就是极限和微积分的问题。
通俗来讲,第二次数学危机,就是如何理解0.999......和1的大小问题,也就是说这两个数是不是相等,或者说是不是同一个数?
当时的人们认为,不管0.999......后面有多少个9,总会比1小那么一点点,所以0.999......不等于1,只是无限接近1。
而如今人们早就明白了,0.999......和1就是一个数,两者完全相等,0.999......并不是无限接近1,而就是等于1。
如果你到现在还不明白为什么0.999......和1是同一个数,只能说明你根本不了解极限的概念,自己给自己“挖坑”然后跳进去。或者说,你就是一个“杠精”,说点不好听的就是“无知者无畏”。但凡有点初中数学水平的,都会明白为什么0.999......和1是同一个数。
而第三次数学危机,看上去和数学没有太大的关系,因为这次数学危机被称为“集合论悖论”,最典型的例子就是“罗素悖论”。
何为“罗素悖论”?
简单讲,有一个非常厉害的理发师宣称“能给所有不能给自己理发的人理发”。那么问题就出现了:这么牛逼的理发师能给他自己理发吗?
结果你会发现,无论能或不能,都会出现矛盾。就像很多人都听说过的“上帝悖论”一样,我们都知道上帝是无所不能的,但上帝能创造出他自己都搬不动的石头吗?
结果也是一样,无论能或不能,结果都会出现矛盾。
有人会说“罗素悖论”诡辩,逻辑上的诡辩。其实,与其说“罗素悖论”是集合上的悖论,倒不如说是哲学上的悖论,它更像是本体论的概念。
什么意思?
“罗素悖论”的思想有一个重要前提:总是会先把自己置之事外,放在某个事件的外面,然后当自己换个角度看到事件时,发现自己其实也在事件当中。
因此,问题的本质就演变为:自己到底有没有在事件当中?
其实某种程度上这也体现了唯心思想。就好比,你认为世界是你自己幻想出来的虚拟假象,那么你本人是否也是你幻想出来的虚拟假象呢?如果是的话,问题又来了,你对“虚拟假象”的质疑本身是否也是一种虚拟假象的呢?
结果就像俄罗斯套娃那样,一层又一层,永远没有尽头!