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高中数学: 七道数学极限练习题及计算过程

七道数学极限练习题及计算过程

1.计算lim(n→∞)(17n²-12)/(13n⁴+5n-24)

解:观察所求极限特征,可知所求极限的分母此时为2,分子的次数为4,且分子分母没有可约的因子,则当n趋近无穷大时,所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴,即:

lim(n→∞)(17n²-12)/(13n⁴+5n-24)

=lim(n→∞)(17/n-12/n⁴)/(13+5/n³-24/n⁴),

=0。

2.计算lim(n→∞)(37n-11n-38)/(4+3n-12n²)

解:思路一:观察所求极限特征,可知所求极限的分子分母的次数相同均为2,且分子分母没有可约的因子,则分子分母同时除以n²,即:

lim(n→∞)(37n²-11n-38)/(4+3n-12n²)

=lim(n→∞)(37-11/n-38/n²)/(4/n+3/n-12),

=(37-0)/(0-12),

=-37/12。

思路二:本题所求极限符合洛必达法则,有:

lim(n→∞)( 37n²-11n-38)/(4+3n-12n²)

=lim(n→∞)(74n-11)/(3-24n),继续使用罗必塔法则,

=lim(n→∞)(74-0)/(0-24),

=-37/12。

3.求极限lim(x→1)(x³-4x+3)/(x⁴-6x+5)

解:观察极限特征,所求极限为定点x趋近于1,又分子分母含有公因式x-1,即x=1是极限函数的可去间断点,则:

lim(x→1)(x³-4x+3)/(x⁴-6x+5)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-3)/[(x-1)(x³+x²+x-5)],

=lim(x→1)(x²+x-3)/(x³+x²+x-5),

=(1+1-3)/(1+1+1-5),

=1/2。

4.求lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x)

解:思路一:本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得,则:

lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x),

=lim(x→0)(26+4sin10x/x)/(6-12sin8x/x),

=lim(x→0)(26+40sin10x/10x)/(6-96sin8x/8x),

=(26+40)/(6-96),

=-11/15。

思路二:使用罗必塔法则计算有:

lim(x→0)(26x+4sin10x)/(6x-12sin8x),

=lim(x→0)(26+4*10cos10x)/(6-12*8cos8x),

=(26+4*10)/(6-12*8),

=-11/15。

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(4x+1)。

解:本题思路是分子分母同时除以x,并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1,则:

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(4x+1)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(4x+1)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[4+(1/x)],

=1/{lim(x→∞)[4+(1/x)]},

=1/4。

6.求lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x.

解:思路一:对分母进行三角和差化积,再进行极限计算,有:

lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x

=lim(x→0)2cos43xsin(-28x)/sin28x,

=lim(x→0)-2cos43x,

=-2cos0=-2。

思路二:使用罗必塔法则计算有:

lim(x→0)(sin15x-sin71x)/sin28x,

=lim(x→0)(15cos15x-sin71cos71x)/(28cos28x),

=lim(x→0)(15-71)/28,

=-2。

7.求lim(x→0)(1+14x)^(2/11x)。

解:本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得,则:

lim(x→0)(1+14x)^(2/11x),

=lim(x→0){[(1+14x)^(1/14x)]}^(2*14/11),

=e^(2*14/11),

=e^(28/11)。

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