现代微积分，可以被定义为“对连续变化的数学研究”，是由17世纪和18世纪的两位伟大思想家，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立发展起来的。
在这篇文章中，我的重点将是莱布尼茨的工作，展示他是如何推导出著名的分部积分公式的。
图1：莱布尼茨的肖像和雕像
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是典型的博学家。他对哲学、数学、语言学、神学、工程学、法理学、法律、计算机科学和地质学等广泛的领域做出了基础性的贡献。莱布尼茨曾经说过，他经常需要用一周中的相当一部分时间来记录一个早晨的想法。
下面，左边是他在汉诺威最后的住所的工作空间。右边是他旅行时随身携带的折叠椅。
图2：左边是莱布尼茨在汉诺威最后的住处的工作室。右边是他旅行时随身携带的折叠椅
莱布尼茨在欧洲第一个德语科学杂志《博学学报》上发表的关于微积分的三篇最著名的文章的标题是：
求极大值、极小值和切线的一种新方法，不会受到小数或无理数的阻碍，这是一种奇异的微积分。
关于不可分与无限的几何与分析。
测量几何的补充，或由一个运动所影响的最一般的求积，以及由一个给定的切线条件所形成的曲线的各种构造。
标题页如下图3所示
图3：莱布尼茨在《博学学报》上发表的关于微积分最著名的三篇文章
莱布尼茨定理
本文的目的是证明莱布尼茨定理的一个特殊情况给出了著名的分部积分公式。
莱布尼茨定理是关于求曲线之间的面积的。为了理解莱布尼茨的理论基础，考虑图4和图5，让我们根据莱布尼茨的方法来计算曲线AB下面的面积（或者等价地，曲线y=0和曲线AB之间的面积）。
莱布尼茨认为总面积为底为无穷小的面积的和：
莱布尼茨认为曲线AB下面的面积是无限小底dx的无限小矩形的和。
图4：一个有无穷小底dx和变化高y(x)的矩形。
现在考虑下面的图5和以dx为底的无穷小矩形（注意图中的dx是不按比例缩放的）)。它的面积是ydx。由于曲线下的面积是所有矩形面积之和，莱布尼茨选择了下面的符号来表示总面积：
式2：莱布尼茨“S”符号表示曲线之间的面积
是一个拉长的S，代表求和。
图5
从图5中莱布尼茨的构造来看，有以下关系：
式3：z的表达式如图5所示。
图6是图5的一部分。从中我们可以看出，角WOT是α，这使得三角形ΔOTW和无穷小三角形相似。因此我们得到：
式4：三角形ΔOTW与无穷小三角形相似所隐含的关系。
图6：图5的左侧，曲线AB的切线与z轴相交。
由于三角形ΔOPQ（见图5）的底和高分别为ds和h，则其面积根据式4为：
式5：由式4得到底高h为无穷小的三角形ΔOPQ的面积。
因此，从A到B楔形的总面积由下面的积分给出：
式6：楔形的面积等于无穷小底三角形的面积之和。
最后一步是找到曲线AB下的面积和楔形面积之间的关系。如图5所示：
式7：曲线AB下面的面积被“转化”为楔形面积和差值y(b)b/2 - y(a)a/2的两部分之和。
因此，曲线AB下面的面积“转化”为两部分的和：
式8：三角形ΔObB和ΔOaA的面积之差。
使用式3和式7（并进行一些简单的代数运算），我们得到：
式9：式3和式7放在一起。
现在考虑图6。我们可以看到：
式9中的第一项是包含垂直线的区域的面积。
式9右边的第二项是包含水平线的区域的面积。
把式9右边的第二项移到等式左边我们看到上面两个面积的和等于以b为底的矩形和以a为底的矩形的差。
图7：式9对应的图。
如果我们现在做出以下选择：
式10：g(x)和y的莱布尼茨选择。
这意味着：
式11：式10中函数的导数。
将这些定义代入式9，得到：
式12：分部积分公式。
出乎意料的是，我们看到，图5中复杂的构造给了我们微积分中最常用的公式之一，分部积分！
