1900年，数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）公布了23个重要的未解决的数学问题，他希望这些问题能够持续地研究下去。一个多世纪后，他的许多问题继续推动着数学研究的前沿。
就在希尔伯特宣布他的问题清单前不久，数学家们发现了与有理数相关的一组特定数字的构建块，这些数字可以用整数的比例表示。这一发现是23个问题中第12个问题的基础，该问题要求寻找与有理数以外的数字系统相关的构建块。
经过50多年的研究，最近的一篇论文最终描述了希尔伯特想要的一个广泛的数字系统的构建块。但答案依赖于一些非常现代的观点。
这是我们期待已久的事情，他们确实取得了重大突破，加州大学圣地亚哥分校和哈佛大学名誉教授本尼迪克特·格罗斯（Benedict Gross）说。这和希尔伯特想的完全不同。但数学就是这样。
寻根
希尔伯特的第十二个问题是建立在数论的基础上的，数论是数学的一个分支，研究数字的基本算术性质，包括多项式表达式的解，比如x^3 + 2x−3。特别地，数学家经常研究这些表达式的根（使多项式等于零的x的值）。
数理论家经常根据多项式的系数类型来对它们进行分类。以有理数为系数的系数相对简单，是研究的共同目标。
我们从有理数开始，杜克大学数学家萨米特·达斯古普塔（Samit Dasgupta）说。这是数论的基本系统。
有时有有理数的多项式的根本身就是有理数，但并不总是这样。这意味着数学家们想要找到所有有理数多项式的根，需要在一个展开的数系中寻找：复数，包括所有有理数和实数，加上虚数i。
当我们在复平面上画出一个多项式的根，x轴为实数，y轴为纯虚数，某些对称性就会出现。这些对称性可以用来重新排列这些点。如果你能以任何顺序应用对称性并得到相同的结果，我们说多项式是交换的。但是如果你应用对称性的顺序改变了结果，这个多项式是非交换的。数字理论家对阿贝尔多项式最感兴趣，同样是因为它们的简单性，但它们很难区分。例如，x^2−2是交换的，而x^3−2不是。
除了这些对称性之外，阿贝尔多项式还有一个显著的特点，那就是试图用简单而准确的术语来描述多项式的根。例如，很容易准确地描述多项式x^2 - 3的根：它们就是3的正负平方根。但是对于指数较大的复杂多项式来说，要写出它的根是很困难的。
当然，也有变通的办法。你可以用数字来近似多项式的根，但如果你想以一种明确的方式把它写下来，我们只能以有限的方式做到这一点。
然而，有有理系数的阿贝尔多项式是特殊的，从固定的构建块集合中精确地计算它们的根总是可能的。这个发现被证明是如此的强大，以至于它启发了希尔伯特提出了他的第12个问题，而这一切都归功于一组被称为单位根的数字。
单位根
单位根是一个看似简单却具有非凡力量的概念。从数值上讲，它们是当一个变量的幂被设为1时的多项式的解，比如x^5 = 1或x^8 = 1。这些解是复数，它们由指数中的数字表示。例如，5次单位根就是x^5 = 1的五个解。
但是单位的根也可以用几何来描述，而不用方程。如果把它们画在复平面上，这些点都在一个半径为1的圆上。如果你把圆想象成一个时钟，总是有一个单位根在3点，因为1的任意次幂仍然是1。其余的根在圆上等距排列。
19世纪，在希尔伯特的问题之前，数学家们发现单位根可以作为他们想要研究的特定数字集合的“构建块”：有有理系数的阿贝尔多项式的根。如果你取单位根的简单组合（加、减、乘有理数），你就可以描述所有这些根。例如，5的平方根是阿贝尔多项式x^2−5的根，它可以表示为5次单位根的和。同样，x^2−2的根，也就是2的平方根，是由8次根构成的。这与素数构建整数的方式类似。
所以单位根是你需要完美描述有有理系数的阿贝尔多项式的根的基石。另一方面，单位根的任意组合将得到一个数，这个数是某个有有理系数的阿贝尔多项式的根。这两者是密不可分的。
希尔伯特提出他的第12个问题时，想让数学家们找到阿贝尔多项式的根的构建块，它的系数来自有理数以外的数系统。换句话说，其他数系的单位根有什么相似之处？
突破
这是一个雄心勃勃的问题，但这就是为什么它会出现在希尔伯特的问题清单上。他怀疑这个问题是可以解决的，因为在他写这个问题的时候，他想到了如何描述另一种类型的数字系统的组成部分，也就是虚二次域（简单地说，这个方程组只包括有理数和负数的平方根）。几十年后，他的猜测被证明是正确的。
有两种情况——有理数的情况和虚二次域的情况——引导希尔伯特形成了他的第12个问题，伦敦帝国理工学院的爱丽丝•波齐（Alice Pozzi）表示。
希尔伯特希望其他数字系统的构建块能够被描述成与他已经知道的两种情况类似的形式。这意味着要使用复分析，复分析是研究复函数的数学分支。
但在20世纪70年代，也就是希尔伯特为他的第12个问题奠定基础的几十年后，数学家哈罗德·斯塔克（Harold Stark）猜测，L函数可能会帮助解决这个问题。这是一种将无穷多个数相加的函数。黎曼ζ函数，是希尔伯特问题列表中另一个问题的主题，是一个著名的例子
几个世纪以来，数学家们都知道L函数会产生神秘而有趣的结果。他们展示了如何使用简单分数的无限序列来构建与圆周率和其他重要常数相关的数字。
基于这一直觉，斯塔克（Stark）能够用L函数来模拟其他数字系统的单位根。但是，尽管数学家们相信斯塔克的猜想是正确的，他们已经用计算机分析对它进行了广泛的测试，但他们还没有任何成功的证明。
就我们所知，斯塔克的猜想真的很难。已经50年了，几乎没有任何进展。
最终，斯塔克所做的是提供了一个公式，可以用L函数，找到带有其他数系系数的阿贝尔多项式的根。只是没有人知道如何证明这个方法是有效的。
更糟糕的是，斯塔克的方法只提供了描述构建块所需的一半信息。这相当于只有一个位置的经度，我们还需要纬度来确定一个特定的点。
20世纪80年代，格罗斯发表了斯塔克的改良版，这一次使用了更新的方法。斯塔克和希尔伯特一样，用复数来思考问题，但格罗斯用的是p进数。这些是标准数字的替代品，标准数字使用不同的方法来确定两个数字是否接近。
本尼迪克特·格罗斯是第一个使用p进数来寻找希尔伯特第12题所要求的数字构建块的人。几十年后，这种方法被证明是成功的。
数学中的许多概念都可以用p进数来重写，其中包括L函数。事实上，在现代数论中，p-进L函数被视为复L函数的自然伴侣。
即便如此，起初，格罗斯从复数到p进数的转换似乎并没有让数学家们更接近于证明斯塔克猜想。
解决
今年3月，Dasgupta和Kakde发表了一篇论文，第一次用p进数L函数回答了希尔伯特针对一个独立的大型数字系统的问题。这些系统被称为全实域，它们是有理数的延伸，也包含一个给定多项式的一个根。
Dasgupta在他2004年的博士论文中首先提出了他们需要的最终公式——对格罗斯猜想的改进。
这一过程的第一步，是在过去的十年里，利用p进数论的最新发展，最终在两篇系列论文中证明了格罗斯的猜想。但这只提供了一半的信息，因为格罗斯的猜想（和斯塔克的一样）只提供了精确描述构建块所需的两个数字中的一个。
在过去的三年里，Dasgupta和Kakde一直在努力证明格罗斯的猜想，它提供了两个数字，即使它看起来仍然是不可能的。
去年他们有了突破。他们能够证明与全实域相关的精确构建块的存在。换句话说，他们知道想要的东西就在某个地方，而这种洞察力引导他们朝正确的方向前进。它给了他们证明完全描述构建块的精确公式的关键方程式。
杜克大学的Samit Dasgupta（上）和印度科学院的Mahesh Kakde（下）终于找到了一些大卫·希尔伯特在100多年前提出的数字构建模块，尽管他们是用意料之外的数学工具做到的。
为了证实它的正确性，两名学生编写了一个计算机程序，该程序可以实际生成特定数字系统的构建块，并演示了它的工作原理。除了理论证明之外，计算机程序还帮助证明了Dasgupta和Kakde的公式的准确性，这是解决此类抽象问题的一个特别重要的因素。
希尔伯特的第十二个问题要求精确描述阿贝尔多项式的根的构造块，Dasgupta和Kakde的研究给出了一系列数字系统的构建块——尽管是以p-进L函数的形式进行的。
但最后还有一个问题，因为希尔伯特明确地写过，构建块应该由复数构成，所以这个解与希尔伯特最初想法的不同之处显示了数学的通用性。它用p进数分析回答了希尔伯特的问题，但仍然保留了最初的问题（用复分析）留给未来的数学家去探索。可能有很多种方法来描述这些构建块，也许某天有人能够用复数来描述它们，满足希尔伯特最初的要求。
