为了正式定义质数，我将使用戈弗雷·哈罗德·哈代（G. H. Hardy）和爱德华·梅特兰·赖特（E. M. Wright）的经典数论书《数论导论》中定义的“改进”版本。
图1：英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特，著名的书《数论导论》的作者
我们只考虑正整数。一个数p被称为素数，如果：
p > 1：数字1既不是质数也不是合数。1不是质数的一个很好的理由是为了避免修改算术基本定理。这个著名的定理说：“整数只能用一种方式表示为质数的乘积。”假设1为质数，那么这个唯一性就会消失（例如，我们可以将3写成 1 x 3，1 x 1 x 1 x 3，1^12345 x 3，等等）。
P除了1和P没有正因数
图2：与合数相比，素数不能排列成矩形，只能是一条线
素数的无限
质数的数目是无限的。前几个素数是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37等等。“素数有无限个”这个重要定理的第一个证明是由古希腊数学家欧几里得提供的。
瑞士伟大的数学家莱昂哈德·欧拉只用了基本微积分就证明了素数有无限多个。
图3：前60个整数的π(x)的值由下面的式1定义
我们首先考虑小于或等于某个x∈R的素数的个数，其中R表示实数集合：
式1：小于或等于某个x∈R的素数。
这个函数称为素数计数函数。我们可以随便给质数编号，但这里我们还是按数值递增的顺序给它们编号：
式2：素数按递增顺序编号。
现在考虑下面所示的函数f(x)=1/x。
图4：函数f(x)=1/x
该函数在区间[1，∞]内的积分是x的对数：
式3：1/x从1到x的积分等于x的对数。
现在将1/x以下的面积与图中显示的阶梯函数以下的面积进行比较。稍后我们将更仔细地验证整数。
式4：满足下面式5的x的区间。
满足以下两个不等式：
式5：不等式需要证明。
其中，最后一个和扩展到所有m∈N，仅包含素数p，且：
为了便于理解，让我们考虑一个例子，比如n=6。在这种情况下，式4中的区间为x∈[6，7]，不等式为：
式6：n=6时，式5的例子。
第一个不等式可以从图4中看出。第二个呢？在这种情况下，在上面的不等式中m∈N的值是哪些？
2、3和5只有一个质数因子。因为它们是质数，所以它们唯一的因子小于6。
合数4 = 2×2，6 = 2 × 3只有2和3为质数，且都小于6
加上1后，上面列出的数的倒数（即2、3、4、5和6）的和已经等于式6中不等式之间的和，因为有无限多个m（调和级数发散到∞），满足式6中的第二个不等式。更正式的表达如下：
式7：调和级数是发散的
现在，算术的基本定理表明：“一个整数只能用一种方式表示为质数的乘积。”因此，式5中的每一个m都可以唯一地表示为以下形式的乘积：
式8：式5中的每一个m都可以唯一地表示为这种形式的乘积。
其中，k为每个质因数在m的因式分解中出现的次数。因此，式5中1/m的和可以表示为：
式9
读者可以通过一个例子来验证这一点。括号内的和是一个简单的几何级数：
式10：式9括号内的几何级数。
图5：比值为1/2，第一项为1的收敛几何级数
式9中的乘积是除以所有小于或等于x的质数。因此，将式9与式1比较，可以得到式 5：
式11：利用式9得到式1。
因为下面的不等式一般是成立的：
得到了：
这意味着：
由于log(x)是无界的，如下图所示：
图6：log x函数
素数函数π(x)也没有界限。因此，我们得出结论，存在无数个质数。
