各位朋友，大家好！“数学视窗”给大家分享一道有关圆的综合题，这道题目给出的条件较多，有3个小题，其中第3小题难度比较大，属于中考的综合能力题，很多人看到此题后，只能做出第1小题。当然，对于成绩一般的学生来说，做出第一问就不错了，选择放弃后面两问也是合理的。此题考查了相似三角形，勾股定理的运用等。下面，我们就一起来看这道例题吧！
例题：（初中数学综合题）已知在△ABC中，经过点A、B作圆交AC边于点D，交BC边于点E，点P是圆内一点，且满足∠APD=∠BPE=90°，∠ADP=∠PBE，连接AE和BD交于点F．
（1）求证：△APD∽△EPB；
（2）探索AE和BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=√3 DE，BD=4，当DE=2√3时，求EF的长度．
分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：
（1）由∠APD=∠BPE=90°，∠ADP=∠PBE，即可得出三角形相似；
（2）先通过对应线段成比例，证明△APE∽△DPB，得出∠PAE=∠PDB，故∠AFD=∠APD=90°，即可得到AE和BD的位置关系；
（3）由△ABF∽△DEF得到BF/EF＝AB/DE＝√3，设EF=x，在Rt△DEF中，DF2+EF2=DE2，即（4-√3x）^2+x^2=（2√3）^2，解方程即可得解．
解答：（以下的过程仅供参考，部分过程进行了精简，并且可能还有其他不同的解题方法）
（1）∵∠APD=∠BPE=90°，∠ADP=∠PBE，
（非常简单，直接利用相似的判定）
∴△APD∽△EPB；
（2）∵△APD∽△EPB，
∴PA/PD＝PE/PB，
∵∠APE=∠APD+∠DPE，
∠DPB=∠EPB+∠DPE，
∴∠APE=∠DPB，
（对应线段成比例，且夹角相等）
∴△APE∽△DPB，
∴∠PAE=∠PDB，即∠PAG=∠FDG，
∴∠AFD=∠APD=90°，
∴AE⊥BC；
（3）∵∠ABF=∠DEF，∠BAF=∠EDF，
（同弧所对的圆周角相等）
∴△ABF∽△DEF，
∴BF/EF＝AB/DE，
∵AB=√3 DE，BD=4，DE=2√3，
设EF=x，则BF=√3x，DF=4-√3x，
在Rt△DEF中，DF2+EF2=DE2，
即（4-√3x）^2+x^2=（2√3）^2，
解得x1=√3+√2（舍去）
或x2=√3-√2，
∴EF的长是√3-√2.
（完毕）
这道题是圆的综合题，主要考查了三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等，题目综合性强，有一定难度。熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。
