各位朋友，大家好！今天，“数学视窗”给大家讲解一道有关数形结合的几何综合题，这道题目中的条件比较多，需要解决两个小题，有一定的难度。大家在做题时必须完全弄清所给出的条件之间的联系。此题考查了圆的综合运用、直角三角形的性质以及三角形内角和公式等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！
例题：（初中数学综合题）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若点A可在优弧BC上运动，且∠BAC=60°，OA=1，求△ABC面积的最大值．
（2）若点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m+2=n．
分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：
（1）连接OB、OC，则∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，即可求OD=1/2OB=1/2OA；由于BC长度为定值，所以当BC边上的高最大，△ABC面积就最大，据此即可求解；
（2）设∠OED=a，由图可知∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-ma-na=1/2∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-ma-na+2ma=180°+ma-na，据此即可求解．
解答：（以下的过程仅供参考，可以部分进行调整，并且可能还有其他不同的解题方法）
（1）解：如图，连接OB、OC，
∵OD⊥BC于点D，
∴∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OD=1/2OB=1/2OA=1/2，
在直角三角形BOD中，
BO=OA=1，OD=1/2，
∴BD=√3/2，
∵BC长度为定值，
∴当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，
即AD经过点O时，AD最大，
故：AD=AO+OD=3/2，
∴△ABC面积的最大值为：
1/2×BC×AD
=1/2×2BD×3/2
=1/2×√3×3/2
=3√3/4；
（2）证明：设∠OED=a，则∠ABC=ma，∠ACB=na，
根据三角形内角和定理，得
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB
=180°-ma-na
=1/2∠BOC=∠DOC，
∵∠AOC=2∠ABC=2ma，（圆周角定理）
∴∠AOD=∠COD+∠AOC
=180°-ma-na+2ma
=180°+ma-na，
∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE=a，
∴∠AOD=180°-2a，
即：180°+ma-na=180°-2a，
化简，得：m+2=n．
（完毕）
这道题考查了圆的内容、直角三角形的性质以及三角形内角和公式等知识，解答本题的关键是灵活运用三角形内角的关系，再根据数形结合求解。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。
