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事件互斥和事件独立的关系, 对2021年新高考1卷第8题的扩展

本文是对之前推送中关于新高考数学第8题解析的更正以及扩展,原题如下:

设甲乙丙丁事件分别为A,B,C,D,分别计算各自概率,以及根据选项计算P(AC),P(AD),P(B,C),P(CD),如下:

可知P(AD)=P(A)P(D),根据独立事件的公式,事件甲和丁相互独立,选B

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以上解析过程完全是套用公式,公式符合即为独立,不符合就不独立,但如果脱离既定的公式,从最直观的认识出发,A选项中事件甲和事件丙互斥,事件甲和丙发生的概率都依赖于各自符合的事件个数,而两者各自符合的事件个数并无公共部分,为什么两事件不独立?到底甲事件影不影响丙事件的概率,互斥事件和独立事件的区别又是什么。

知乎上有一篇关于独立事件和互斥事件关联性的文章,跟帖很多,评论大多从大学数理统计的角度出发,有兴趣的同学可以自己搜一下,高中数学中都是直接给出了公式,但公式的由来和解释并没有给出,先从课本中给出的定义出发,先回顾一下和事件的和积事件,如下:

互斥事件又叫互不相容事件,指事件A,B不能同时发生,P(AB)=0,用和事件的形式表示成互斥事件,概率公式和图示如下:

两事件独立的定义为事件A不影响事件B的发生的概率,从上图看,若两事件A,B互斥,且P(A)+P(B)≠1,显然A和B互斥时其实可以理解为A,B本身就存在概率上的关联性,即事件A发生时,事件B就一定不会发生,因此A事件发生概率的大小会影响B事件概率的大小,此时不符合独立事件的定义,因此可以理解为若两事件互斥,则两事件不独立。

事件A发生的概率会影响事件B发生的概率大小,这里不得不引入条件概率的定义,且不论事件A,B独立与否,若A,B是两不同的事件,按照分步相乘的原则,事件AB同时发生的概率等于在事件B发生且在事件B发生的条件下,事件A也发生,用数学表达式表示为:P(AB)=P(B)·P(A|B),若A,B之间互不干扰互不影响,则P(A|B)=P(A),所以独立事件概率公式可通过条件概率推导为P(AB)=P(A)P(B) 【书上是用古典概型推导出来的】

两事件是否独立在一些具体实际案例中很好理解,例如两个不相干的学生通过考试的情况是相互独立的,两个不相干的机器运转良好的概率也是相互独立的,这些具体的案例很容易解释独立性,但在本题中,又该如何解释事件的独立性?先看书本上关于独立事件的案例:

三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为"第一名同学没有抽到中奖奖券",事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”,问事件A的发生会不会影响事件B发生的概率?人教版选修2-3

因为是有放回的抽取,A无论抽中没抽中都会放回奖券,所以最后一名学生依旧是从三张奖券中抽取,因此P(B|A)=P(B),所以判断两事件独立不独立可以采用这种方法:即如果有A时B发生的概率与没有A时发生的概率是否相同,看下面的经典案例:

两种情况很接近,第一种情况,若没有事件A,则B事件发生的概率为1/2,若事件A发生,在A发生的前提下B发生的概率依旧是1/2,此时P(B|A)=P(B),即事件A,B相互独立。

第二种情况,若没有事件A,事件B发生的概率为1/2,若事件A发生,在A发生的前提下B发生的概率为2/3,此时P(B|A)≠P(B),事件A,B显然不独立。

从上述案例中能看出,A,B之间有没有影响,具体是怎么影响的只能通过概率来判断,并不能直接找出影响或不影响的特定情况。

若将本题中取两次的数字所有可能性看作完整的事件,甲乙丙丁事件发生的概率图示和关系如下:

如图可知甲丙事件互斥,丙丁事件互斥,甲丁和乙丙存在交集,由互斥事件可知,甲丙以及丙丁不可能独立,现分析甲丁和乙丙是否独立:

先看甲丁,设甲丁事件分别为A,D,若没有A时,D发生的概率P(D)=1/6,若在A发生的条件下,即可能事件为1,1;1,2;1,3;1,4;1,5;1,6,共6个,这6个事件总数中发生D事件的概率依旧为1/6,因此P(D|A)=P(D),反之亦然,所以甲丁互相独立。

再看乙丙,设乙丙事件分别为B,C,若没有B时,事件C发生的概率为5/36,若在B发生的条件下,即可能事件为1,2;2,2;3,2;4,2;5,2;6,2,共6个,这6个事件中发生C事件的概率为1/6,此时P(C|B)≠P(C),因此P(CB)=P(B)P(C|B)≠P(B)P(C),反之亦然。

除了甲丁互相独立之外,事件乙丁也互相独立,只是选项中并没给出。

从上述案例中可总结如下图:

简言之为:互斥不独立,独立不互斥。

一开始的高考真题很容易把答案选出来,借此题目也回顾一下事件互斥,事件独立,条件概率之间的关联性。

【注:文章中提到事件为了体现一般性,概率P均为0

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