1.问题描述
已知一个数,除以a1余b,除以a2余b,除以a3余b……间在某个范围内(如一个n位数、一个数小于10000等)这样的数有几个9
2.解决此类余数问题的万能公式
(1)这个范围内最大的数除以若干个除数的积,如果余数大于最小符合数则商加1;如果余数小于最小符合数则不加(一般情况下余数大于200则直接加1)
(2)注:最小符合数是指这个范围内符合题意的最小数。例:(06国考)一个三位数除以9余数为7,除以5余数为2,除以4余数为3,这样的数有几个?
根据实战提示的:(9×5×4)=510,最小符合数从最大的被除数代入计算,即从除以9后余数为7着手,9N+7代入验证,当N=0的时候,7代入符合除以5余数为2,除以4余数为3条件,说明最小符合数为7.余数10>最小符合数7,所以需要加1,这样的数有5+1=6个
3.同余另一解题方法口诀:以公倍数作周期、余同取余、和同加和、差同减差
(1)余同:用一个数除以几个不同的数,但得到相同的余数.则可以余同加余例:一个数被5除余数为1;被6除余数为1;被7除余数为1,那么这个数可以看作210N+1(210为5,6,7的最小公倍数)
(2)和同:用一个数除以几个不同的数,得到的余数与除数之和相同则可以和同加和网:一个数被5除余数为3被6除余数为2;被7除余数为1,余数与除数之和相同,即5+3=8,6+2=8,7+1=8,那么这个数可以看作210N+8
(3)差同用一个数除以几个不同的数,但得到除数与余数之差相同则可以差同减差例:一个数被5除余数为1被6除余数为2;被7除余数为3,因除数与余数之差相文同,即5-1=4,6-2=4,7-3=4,那么这个数可以看作210N-4
4.同余问题注意事项
多数辅导书采用的是剩余定律解决此类题目,剩余定律解题较为繁琐,在考场上务极为浪费时间,慎用此方法。
(2)解余数间题推荐使用万能方法,但是如果题目条件符合余同取余、和同加和、差同或减差,用余同取余、和同加和、差同减差方法解题会更快,
例1一个自然数,被7除余数为2,被8除余数为3,被9除余数为1,1000以内一共有多少个这样的自然数?
A.5
B.2
D.4【答案】B
【秒杀实战方法】7×8×9=504,1000÷504=1余496.余数496比较大,则余数肯定大于最小符合数,所以答案是2.也可以通过对比选项A、B、C、D,发现答案无1,则肯定余数大于最小符合数,需要加1,即答案为2
例2一个数被3除余数为1,被4除余数为2,被5除余数为4,1000以内这样的数有多少个?
A.16
B.17
C.18
D.19【答案】B
【秒杀实战方法】1000÷60=16…40,余数40则需要和最小符合数进行大小对比看是否需要加1,最小符合数为5n+4,n从0,1,2……快速代入,当n=6时,5n+4=34符合被3除余数为1,被4除余数为2,被5除余数为4,余数40>最小符合数34,因此需要加1,则答案为17个
例3一个三位数被11除余数为9,被8除余数为6,被5除余数为3,问这样的三位数
有多少个?
A.1
B.2
D.4【答案】B
【秒杀实战方法】三项差同相同,所以可以运用差同减差,即11×8×5N-2(N=0,1,2…),当N=1、N=2的时候符合条件,所以答案为2
例5(2008福建)三位数的自然数P满足:除以7余数为2,除以6余数为2,除以5余数为2,则符合条件的自然数P有:
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个【答案】B
【秒杀实战方法】余数都是2,符合余同取余,则7×6×5N+2,N=1,2,3,4符合条余件.则答案为4个
例6(2008河北)一个小于200的数,它除以11余8,除以13余10,那么这个数是多少?
A.118
B.140
C.153
D.162【答案】B
【解析】11-8=3,13-10=3,符合差同减差,则这个数为11×13N-3,N=1的时候符合这个数小于200,N=1,则11×13N-3=140
【秒杀实战方法】除以13余数为10,要满足余数的尾数是0,则被除数尾数也是0,只有B符合.
例7(2005浙江)自然数P满足下列条件:P除以10的余数为9,P除以9的余数为8,P除以8的余数为7.如果:100 A.不存在 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C 【秒杀实战方法】符合差同减差,则P为10,9,8的最小公倍数减去1,即360N-1,当N=1,N=2的时候符合条件,所以答案为2 例9一个数除以5余数是2,除以8余数是7,除以9余数是5.这样的三位数一共有 多少个? A.2 B.3 D.5【答案】B 【秒杀实战方法】5×8×9=360,1000÷360=2余280,答案锁定在A和B之间,余数大于200,大于最小符合数,但题目求的是三位数,所以需要判断出最小符合数是否小于100,如果小于100,则需要减去1.验证最小符合数,代入9N+5,N≤9的时候无符合条件的数,既可说明最小符合数为三位数,则答案为3个 例10一个三位数,被11除余数是7,被6除余数是1,被5除余数是2,这样的三位数有多少个? A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B 【秒杀实战方法】11×6×5=330,1000÷330=3余10.最小符合数为11N+7,N=0时,7即满足最小符合数条件,余数大于最小符合数则加1,所以三位数以下范围内这样的三位数有4个.但需去掉最小符合数7,因为它不是三位数,答案为3个。
