【答案】1。
【解析】
法一【速解】：使用2个二级结论：(1)同一定义域关于坐标原点对称，奇函数✖奇函数=偶函数；(2)若一个奇函数在x=0有定义，则f(0)=0。
由于2^(-x)恒大于0，f(x)的定义域为R，在x=0处有定义，y1=x^3是奇函数，则y2=a*2^x-2^(-x)必为奇函数，由f(0)=0可知a*1-1=0，所以a=1；
法二【赋值法】：显然对于f(x)，x=±1均有定义，依据偶函数的已知条件，可知f(1)=f(-1)，2a-1=-(a/2 -2)，5a/2=5/2，所以a=1
法三【通法】：利用f(x)=f(-x)这个恒等式移项为全体实数解的方程，参变分解求出a；
(1)定义域：R，显然关于原点对称；
(2)对称性：f(x)=f(-x)，即有(a-1)*[2^x+2^(-x)]*x^3=0，
因为x∈R，不恒为0，则a-1这个代数式必须为0，因此a=1；
【答案】x=-3/2
【解析】
法一：几何法:直角三角形射影定理
p^2=(p/2)*6(p＞0)，解出p=3，开口向右，则准线方程为x=-p/2=-3/2；
法二：解析法：垂直有斜率积为-1
kOP=2，则kPQ=-1/2=-p/6，也可解出p=3
【答案】1
【解析】单调性、极值、最值问题首选导数工具，有绝对值就分类讨论去掉绝对值，函数f(x)的定义域为(0,+∞)。
当0＜x≤1/2时，f(x)=1-2x-2Inx=1-2(x+Inx)，
不用求导就知道x+Inx在(0,+∞)单增，而1是常数，所以f(x)在(0,1/2]单调递减，当x=1/2时取得较小值2In2=In4;
当x＞1/2时，f(x)=2x-1-2Inx，则f'(x)=2-2/x=(2/x)*(x-1)，x=1时f(1)=1为极小值1=Ine。
∵1=Ine＜2In2=In4，∴在整个定义域上f(x)的最小值为1。
【答案】5，240[3-(n+3)/2^n]
【解析】列举法+归纳法
根据题意每次对折是沿着对称轴折，而折之前这个对称轴始终有横竖2个，且面积完全一样(都是针对当前的纸张对半分)。
第一次折前后情况：
折之前：20*12，对应面积240 折之后：(20*1/2)×12=10*12=120
20×(12*1/2)=20*6=120
有效图形：2个
第二次折前后情况：
折之前：(20*1/2)×12=120 折之后：(20*1/2*1/2)×12=5*12=60
(20*1/2)×(12*1/2)=10*6=60
20×(12*1/2)=120 (20*1/2)×(12*1/2)=10*6=60【重1个】
20×(12*1/2*1/2)=20*3=60
有效图形：3个
第三次折前后情况：
折之前： 折之后：
(20*1/2*1/2)×12=5*12=60 (20*1/2*1/2*1/2)×12=5/2*12=30
(20*1/2*1/2)×(12*1/2)=5*6=30
(20*1/2)×(12*1/2)=10*6=60(20*1/2*1/2)×(12*1/2)=5*6=30【重1个】
(20*1/2)×(12*1/2*1/2)=10*3=30
20×(12*1/2*1/2)=20*3=60 (20*1/2)×(12*1/2*1/2)=10*3=30【重1个】
20×(12*1/2*1/2*1/2)=20*3/2=30
有效图形：4个
已经列举出前三次折纸情况，会发现，20和12不动，有效图形长度均为1/2的整数指数幂，猜测并验证可得折完后有效图形的规格表达式为：
[20*(1/2)^m] ×[12*(1/2)^n]，m+n=对折的次数
当m+n=1时，10*12对应m=1、n=0；
20*6对应m=0、n=1；
实质是(m,n)仅有2组不同
当m+n=2时，5*12对应m=2、n=0；
10*6对应m=1、n=1，
(1+0)、(0+1)和(0+1)、(1+0)都成了(1)、(1)，因此一定会重1个
20*3对应m=0、n=2；
实质是(m,n)仅有3组不同
当m+n=3时，5/2*12对应m=3、n=0；
5*6 对应m=2、n=1，
(2+0)、(0+1)和(1+1)、(1+0)都成了(2)、(1)，因此一定会重1个
10*3对应m=3、n=0，
(1+0)、(1+1)和(0+1)、(2+0)都成了(1)、(2)，因此一定会重1个
20*3/2对应m=0、n=3，
实质是(m,n)仅有4组不同
归纳可知，当m+n=4时，(m，n)的不同取值组合有如下5组：
(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，(0,4)，显然这里已经把重复的已经减掉了，因为[20*(1/2)^m] ×[12*(1/2)^n]这个式子仅有5组保证不同的面积，所以第一空填5；
设对折k次，每次的面积和为ak=[20*(1/2)^m] ×[12*(1/2)^n]*(m+n+1)
=240(k+1)*(1/2)^k，k∈N+,该数列为一个等差数列与一个公比数列相乘，故采用错位相减法，乘以1/2来处理，即可求出，适当化简就是最终答案。
