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初中数学: 中考常见填空题型根与系数的关系解题方法和策略

一、基本知识原理

设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,则有

根与系数的关系:x1+x2= -(b/a);x1x2=c/a ;

根与方程的关系:ax12+bx1+c=0 ,ax22+bx2+c=0 。

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二、解题方法与策略

对于中考数学中这种常见填空题型,出题方式一般是,条件中直接告诉方程有两个根,但通常不会告诉这两个根的具体值,就算你用求根公式可以解出根的具体值,看起来非常繁琐,也不利于求解。

所以,对于这种题目我们的解题方法与策略是:(1)运用根与系数的关系,先求出方程两个根的和与积;(2)对方程进行适当变形,使二次项转化为一次项或常数;或对所求代数表达式进行适当的变形,使其变为含有两根的和或积的形式;(3)代入两个根的和与积,或者代入根与方程的关系,进行计算,问题便迎刃而解。

三、例题详解

例1、已知a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020=0的两个根,则a2+2b﹣3的值等于

解:由题意可知:a2﹣2a=2020,(对方程进行适当的变形,使高次项转化为一次项或常数)

由根与系数的关系可知:a+b=2,(根据方程求出两个根的和)

∴原式=a2﹣2a+2a+2b﹣3(对所求代数表达式进行适当的变形,使表达式中含有两根之和的形式;)

=2020+2(a+b)﹣3

=2020+2×2﹣3=2021

例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根,则这个直角三角形的斜边长是.

例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6,那么k .

解:设方程的两根为a、b,

∴a+b=4 , ab = k-1

(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab= 42-4(k-1)=36

解得:k=-4

例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根,则代数式

2017m2+2018n2-2018n-2017×20182的值为

解:由已知得m+n = 2018 , mn=1(先求出方程两个根的和与积)

m2+n2=(m+n)2-2mn = 20182-2(利用和与积化简高次项为常数)

∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182(对所求代数表达式进行适当的变形)

= 2017(m2+n2) + n2-2018n-2017×20182

= 2017( 20182-2)-1-2017×20182

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