在大多数科学领域，一代人总是摧毁上一代人所构建的东西，一代人所确立的东西总是被下一代人所毁灭。只 有在数学领域,每代人都是在老建筑之上构建新楼层。
分析学，无穷过程的研究，曾经被牛顿和莱布尼茨理解为涉及到连续量，比如长度、面积、速度和加速度，而数论则明显以离散的自然数集作为它的领地。群论起初只涉及到离散的元素集，但克莱因想到了把数学的离散方面和连续方面在群的概念下统一起来。19世纪确实是数学中互相关联的一个时期。对分析学和代数学的几何学解释是这一趋势的一个方面；把解析的技术引入到数论领域是另一个方面。到19世纪末，最强大的趋势是算术化；它影响了代数学、几何学和分析学。
哥廷根大学有两个年轻人深受狄利克雷的影响，尽管他们在个性和数学方向上大相径庭。一个是理查德·戴德金；另一个是波恩哈德·黎曼。
黎曼在哥廷根
黎曼接替狄利克雷的位置时，他已经发表了5篇专题论文，其中两篇是论述物理学问题。我们将援引黎曼最短的、大概也是最著名的一篇论文的实例，然后指出他对数学物理学的贡献。
黎曼还得出了一些很有深度的跟数论和古典分析学有关的定理。欧拉曾经注意到素数理论与下面这个级数之间的关系：
式中，S是一个整数，这是狄利克雷级数的一个特例。黎曼阵对S是一个复变量的情况研究了同样的级数，级数的和被定义为一个函数zeta（S），打那以后，这个函数被称作黎曼zeta函数。黎曼是个多面手，有着富有创造力的头脑，他不仅对几何学和数论、而且还对分析学做出了贡献。在分析学领域，他因为在积分定义的精炼上所扮演的角色，因为对柯西—黎曼方程的强调，以及因为黎曼曲面，而被人们所铭记。这些曲面是一个匠心独运的方案，为的是让一个函数具有一致性，亦即，表示一个复变函数的一一映射，而这样的函数在平常的高斯平面上是多值的。
这里，我们看到了黎曼的工作最为引人注目的方面：分析学中一种有着强烈直觉的几何学背景，与魏尔斯特拉斯学派的算术化趋势形成鲜明对照。他的方法被称作“发现的方法”，而魏尔斯特拉斯的方法，正如我们将要看到的那样，是一种“证明的方法”。他的成果极为重要，以至于伯特兰·罗素把他描述为“逻辑上是爱因斯坦的直接前辈。”正是黎曼在物理学和数学上的直觉天才，使得像黎曼空间曲率或流形这样一些概念得以产生，如果没有这些概念，广义相对论是不可能被构想出来的。
数学物理学
19世纪最早对数学物理学做出贡献的，是爱尔兰人威廉·卢云·哈密顿，他大量利用了他在1820年代晚期建立数学光学理论时发展出来的概念，其方法的关键是把变分原理引入到了某些偏微分方程的处理中。他的研究建立在拉格朗日和泊松的工作的基础上，但利用了更早确立的一些物理学原理。雅可比在19世纪30年代打造出了他自己的动力学，重塑了哈密顿的创新观念，并在他自己的理论背景下关注它们。结果是如今所谓的哈密顿—雅可比理论。哈密顿的主要支持者是苏格兰物理学家彼得·格思里·泰特（1831~1901）。他的数学贡献包括早年对结的研究，在这一领域，他遵循了一条由高斯和利斯廷开创的不大为人所知的研究路线，得到了电力学研究的促进。
乔治·加布里埃尔·斯托克斯的名字每一个研读高等微积分的学生都耳熟能详。1850年，斯托克斯证明了斯托克斯定理。麦克斯韦最有名的是他在电磁波动方程求导上所取得的惊人成功，他在促使数学家和物理学家使用向量上发挥了很大影响。
魏尔斯特拉斯
在19世纪下半叶，柏林最重要的分析学家是卡尔·魏尔斯特拉斯。1854年，魏尔斯特拉斯发表在《克列尔杂志》上的一篇论述阿贝尔函数的论文使他赢得了广泛的认可，在19世纪最后30余年里，他被很多人认为是世界上首屈一指的分析学家。
在19世纪中叶之前，人们普遍认为，如果一个无穷级数在某个区间内收敛于一个连续而可微的函数f（x），则通过逐项求原级数的微分所得到的第二个级数在同一区间必定收敛于函数f'（x）。有好几个数学家证明，情况未必是这样，而且，只有这个级数对于这个区间是一致收敛的。魏尔斯特拉斯证明了，对于一个一致收敛的级数，逐项求积分也是允许的。1870年，海涅证明，一个连续函数，如果你把一致收敛这个条件强加给它，则它的傅立叶级数展开就是唯一的。在这方面，他消除了狄利克雷和黎曼论述傅立叶级数的作品中的困难。
魏尔斯特拉斯对分析学的重要贡献之一被称作“解析延拓”。魏尔斯特拉斯把解析函数定义为一个幂级数连同所有那些可以通过解析开拓从它这里获得的级数。像魏尔斯特拉斯所做的这种工作，其重要性在数学分析中尤其能够感觉到，在这一领域，微分方程的解很少是以不同于无穷级数的其他形式求出的。
分析学的算术化
1872年是有特殊意义的年份，不仅在几何学领域，而且特别是在分析学领域。在这一年，至少有5个数学家对分析学的算术化做出了决定性的贡献，其中一个是法国人，其余的是德国人。这个法国人是勃艮第大学的夏尔·梅雷；4个德国人分别是：柏林大学的卡尔·魏尔斯特拉斯，哈勒大学的H.E.海涅和格奥尔格·康托尔，以及不伦瑞克大学的J.W.R.戴德金。这些人在某种意义上代表了半个世纪函数和数的性质研究的高峰，这项研究是1822年随着傅立叶的热理论以及马丁·欧姆的努力开始的，同一年，欧姆在《论完全一致的数学体系》中试图把整个分析学简化为算术。
这50年的焦虑不安，有两个主要原因。一个原因是对无穷级数上执行的运算缺乏信任。人们甚至都不清楚，函数的无穷级数———例如，幂级数，正弦或余弦级数———究竟是不是始终收敛于它所源自的那个函数。第二个原因是“实数”这个术语缺乏任何定义所引发的忧虑，这个定义是算术化计划的核心。到1817年，波尔查诺已经充分意识到了分析学中严谨性的必要，以至于克莱因把他称作“算术化之父”；但波尔查诺的影响比不上柯西，后者的分析学依然受到几何直觉的妨碍。就连波尔查诺在1830年前后提出的连续不可微函数也被后来者所忽视，魏尔斯特拉斯所给出的这种函数的实例，被普遍认为是它的最早例证。
与此同时，黎曼展示了一个函数f（x），它在一个区间内无穷多个点上不连续，然而它的积分却存在，并定义了一个连续函数F（x），对于上述无穷多个点，它并没有导数。黎曼的函数在某种意义上比波尔查诺和魏尔斯特拉斯的函数更正常一些，但有一点已经很清楚：积分需要一个比柯西的定义更为小心谨慎的定义，柯西的定义在很大程度上受到了一条曲线之下的区域这样一种几何感的引导。今天从上和与下和的角度对一个区间上的定积分给出的定义，通常被称作黎曼积分，以纪念这个给出有界函数可积的充分必要条件的人。例如，狄利克雷函数在任何区间上都没有黎曼积分。更一般的积分定义，加诸函数的条件更弱，是在下个世纪提出的，但大多数大学微积分课程中所使用的积分定义依然是黎曼的定义。
在波尔查诺的工作与魏尔斯特拉斯的工作之间，存在一段大约50年的间隔，但在这半个世纪里人们的努力是如此一致，对重新发现波尔查诺的作品的需要是如此迫切，以至于有一个著名的定理被冠以这两个人的名字，这就是波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理：一个包含无穷多个元（比如点和数）的有界集S至少包含一个极限点。尽管这个定理是波尔查诺证明的，而且柯西明显也知道，但正是魏尔斯特拉斯的工作，使得它被数学家们所熟悉。
拉格朗日曾对傅立叶级数表示怀疑，但1823年，柯西认为他已经证明了一般傅立叶级数的收敛性。狄利克雷让我们看到，柯西的证明是不充分的，并提出了收敛性的充分条件。黎曼正是在试图放宽狄利克雷提出的傅立叶级数收敛性条件的过程中，发展出了他对黎曼积分的定义；关于这一点，他证明了一个函数f（x）在一个区间内可积，而无需可被傅立叶级数展开。正是无穷三角级数的研究，导致了康托尔的集合理论。
在决定性的1872年刚刚过去一年之后，一个有望对数学和数学史做出重要贡献的年轻人去世了，当时只有34岁。他就是赫尔曼·汉克尔，黎曼的学生和莱比锡大学的数学教授。1867年，汉克尔出版了《复数系理论》一书，他在书中指出：“建立一种泛算术的条件因此是一种纯智性数学，一种脱离了一切感觉的数学”。我们已经看到，当高斯、罗巴切夫斯基和波约使自己摆脱了空间成见的时候，几何学的革命便发生了。在有点类似的意义上，正如汉克尔所预见的那样，只有当数学家们懂得，实数应该被视为“智性结构”，而不是从欧几里得的几何学那里继承来的从直觉上给出的量，分析学的彻底算术化才成为可能。
魏尔斯特拉斯试图把微积分跟几何学分离开来，把它仅仅建立在数的概念的基础之上。要做这件工作，就必须给出独立于极限概念的无理数的定义，因为迄今为止前者依然以后者为先决条件。为了纠正柯西的逻辑错误，魏尔斯特拉斯通过使数列本身成为数或极限，从而解决了一个收敛数列的极限是否存在的问题。
康托尔与戴德金
戴德金早在1858年就开始关注无理数问题，当时他正在讲授微积分。他得出结论，极限概念，如果想让它严谨的话，就应该仅仅通过算术来发展，无需来自几何的引导。戴德金没有简单地寻找一条走出柯西的恶性循环的途径，而是问自己，在连续的几何量中，究竟有什么东西把它跟有理数区别开来。
伽利略和莱布尼茨认为，直线上点的“连续”是它们的密度的结果———在任何两点之间总是有第三点。然而，有理数也有这个属性，但它们并没有构成一个连续统。在思考这个问题的时候，戴德金得出结论：一条线段的连续性，其本质并非由于一种含糊不清的紧密相连，而是要归因于一种截然相反的属性：线段上的一点把线段分为两部分的那种特性。把线段上的点分为两类，使得每一点属于且只属于其中一类，且一类中的每一点都在另一类中的每一点的左边，在任何这样的分割中，都有且只有一点导致这种分割。
戴德金认识到，可以把有理数域扩大，构成一个实数的连续统，只要你假设一个前提，这就是如今所说的康托尔—戴德金公理，即：一条直线上的点可以跟实数建立起一一对应的关系。戴德金指出，现在，关于极限的基本定理都可以得到证明，而无需求助于几何学。正是几何学，指明了通向连续性的恰当定义之路，但到最后，它被排除在这个概念正式的算术定义之外。有理数系中的戴德金分割，或实数的等价物，如今取代了几何量，成为分析学的支柱。
实数的定义，正如汉克尔曾经提及的那样，是建立在有理数基础上的智性结构，而不是从外部强加给数学的某种东西。在上述定义中，一个最流行的定义是戴德金的定义。20世纪初，伯特兰·罗素对戴德金分割提出了修改。
康托尔出生于圣彼得堡，在苏黎世、哥廷根和柏林上学期间，专注于哲学、物理学和数学———这个过程似乎培养了他前所未有的数学想象力。1867年，他以一篇关于数论的论文获得了博士学位，但他的早期作品却显示出了对魏尔斯特拉斯的分析学的兴趣。这一领域促使他在二十八九岁的时候头脑里迸发出的那些革命性的观念。我们已经提到过康托尔跟“实数”这个平淡无奇的术语有关的工作；但他最具原创性的贡献是以“无穷”这个刺激性的词语为中心。
自芝诺的时代以来，人们一直在谈论无穷，既在神学领域，也在数学领域，但1872年之前，没有一个人能够准确地说出他所谈论的是什么。在关于无穷的讨论中，人们太过频繁地援引的实例，都是诸如无穷次幂或无穷大量之类的东西。偶尔，像伽利略和波尔查诺的作品那样，人们的注意力也集中在一个集合的无穷多元上，例如，自然数或一条线段上的点。在人们一直试图识别出数学中实际的或“完全的”无穷，在这样的努力中，柯西和魏尔斯特拉斯只看到了悖论，并相信无穷大和无穷小所指称的只不过是亚里士多德的可能性———即上述过程的不完全性。康托尔和戴德金得出了相反的结论。在波尔查诺的悖论中，戴德金看到的不是反常，而是无穷集的一个普遍属性，他把这一属性视为一个准确的定义：
一个系统S，当它与自身的严格意义上的一部分相似时，我们说它是无穷的；在相反的情况下，我们说S是一个有限的系统。
用更现代的术语说，一个元素集S，如果它的一个真子集S'中的元素可以跟S中的元素建立起一一对应的关系，则我们说S是无穷集。
戴德金的无穷集定义1872年发表在他的《连续性与无理数》中。1874年，康托尔在《克列尔杂志》上发表了他最具革命性的论文之一。他像戴德金一样，也认识到了无穷集的基本属性，但是，不同的是，他认识到，并非所有无穷集都是一样的。在有限的情况下，如果不同的元素集可以建立起一一对应的关系，我们就说它们有一样的数量（基数）。以有点类似的方式，康托尔着手依据集合的“势”来构建无穷集的等级体系。完全平方数集或三角形数集跟所有正整数的集合有同样的势，因为这些集合可以建立起一一对应的关系。这些集合似乎比所有有理分数的集合小得多，然而，康托尔证明，有理分数的集合也是可数的，也就是说，它也能跟正整数建立起一一对应的关系，因此有同样的势。要证明这一点，我们只要循着下图中的箭头，顺着箭头的方向“数一数”分数。
有理分数非常密集，在任何两个有理分数（不管它们挨得多近）之间，总是还有一个有理分数；然而，康托尔的排列显示，分数集的势跟整数集是一样的。你一定很想知道，是不是所有数集都有同样的势，但康托尔令人信服地证明了，情况并非如此。例如，跟有理分数的集合比起来，所有实数的集合有更高的势。为了证明这一点，康托尔使用了归谬法。假设0与1之间的实数是可数的，表示为无尽小数（例如，1/3是0.333…，1/2是0.499…，以此类推），并以可数顺序排列如下：
为了证明并非所有0与1之间的实数都被包括在上面的排列中，康托尔显示了一个无尽小数，与上面列出的那些数都不同。要做到这一点，只需构建一个小数：
这个实数在0与1之间，然而，它并不等于上面那个被假定为包含0与1之间的所有实数的排列中的任何一个数。
实数可以用两种不同的方式细分为两种类型：（1）按照有理数和无理数，（2）按照代数数和超越数。康托尔证明了，即使是代数数这一类（它们远比有理数更加一般），它们依然跟整数有一样的势。因此，正是超越数，给予实数系以导致更高势的“密度”。本质上正是密度问题，决定了一个集合的势。
一个更令人吃惊的事实是：维数并不是一个集合的势的决定因素。单位线段上点的集合，它的势跟单位面积或单位体积中的点———或者，就这个问题而言，甚至是三维空间里所有的点———的集合的势是一样的。（然而，维数依然是某种权威的衡量，因为在不同维度的空间里，点的任何一一映射都必然是不连续映射。）点集理论中的某些结果太吊诡，竟使康托尔本人在1877年写信告诉戴德金：
我认识到了它，但我不相信它
他请求戴德金检验他的证明。出版者对接受他的论文也很犹豫，好几次，由于编辑迟疑不决，担心这种非传统的处理数学概念的方法中潜伏的错误，从而推迟了康托尔的文章在《克列尔杂志》上发表。
康托尔的惊人成果，导致了集合理论作为一门成熟的数学学科的建立，被称为集合论或流形论，这一分支在20世纪中叶将对数学教学产生深远影响。在创立这门学科的时候，康托尔花了很大的功夫让他的同时代人相信这些结果的有效性，因为存在相当可观的“无穷恐怖症”，数学家们很不愿意接受实际上的无穷或完全无穷。在层层叠叠地堆积证据的过程中，康托尔最后构建了整个超限算术的大厦。一个集合的“势”成了该集合的“基数”。
因此，整数集的“基数”是“最小的”超限数E，而实数集或一条直线上点的集合的“基数”是一个“更大的”超限数C，即连续统的基数。还有一个问题依然没有得到回答，这就是：E与C之间是不是存在超限数。康托尔表示，有无穷多个超限数超过C，因为他证明了：一个集合的子集的集合，它的势总是高于该集合本身的势。因此，C的子集的集合的基数是第三个超限数，这个子集集合的子集集合决定了第四个超限数，依次类推，直至无穷。正如有无穷多个实数一样，也有无穷多个超限数。
上面描述的超限数都是基数，但康托尔还发展出了超限序数的算术。次序关系在数学中是一个很棘手的问题，因此到头来人们发现，超限序数算术惊人地不同于有限序数算术。对于有限实例来说，序数的法则本质上跟基数的法则是一样的。因此，3+4=4+3，而不管这些数字是代表基数，还是代表序数。然而，如果你用ω来代表“计数”，则ω+1跟1+ω并不一样，因为1+ω明显跟ω相同。此外，你还可以证明：ω+ω=ω且ω·ω=ω，这些属性不同于有限序数的属性，倒是类似于超限序数的属性。
戴德金和康托尔都属于他们那个时代最有能力的数学家，肯定是最具原创性的数学家。他惊人的产出，涵盖了数论、方程理论、椭圆函数及其他领域。他对20世纪初叶代数学的影响相当大，对数论的影响也是如此。众所周知的是他那句
上帝创造了整数，其余的一切都是人的工作。
他无条件地拒绝他那个时代的实数构建，理由是：它们没法仅通过有限的过程来实现。据说他曾经问林德曼：证明π不是代数数有什么用，因为无理数是不存在的。
克罗内克不仅挡住了康托尔在柏林大学获得教席的道路，而且，他还试图破坏康托尔正在创立的那个数学分支。反过来，1883年，康托尔在他的《一般流形论基础》中写下了一段有力的辩护，他坚持认为：“明确的记数既可以用有限集来进行，也可以用无穷集来进行。”他并不害怕落入他所描述的“超越数的深渊”。克罗内克继续他对高度敏感、性情暴躁的康托尔的攻击，1884年，康托尔第一次患上了神经失常，在他此后30年的余生中，这种病还反复发作。抑郁症的发作有时候导致他怀疑自己的工作，尽管像埃尔米特这样一些人的支持在一定程度上给他带来了安慰。到最后，他的成就赢得了人们的认可。希尔伯特惊呼：“没有人能把我们逐出康托尔为我们创造的天堂。”
法国的分析学
19世纪中叶法国最著名的分析学工作大概是施图姆和刘维尔的工作，处理的是有边界条件的二次常微分方程理论。事实上，上面谈到的这些论文就发表在19世纪30年代《刘维尔杂志》的最早几期上。然而，它们的巨大意义只是逐步显现出来，尤其是通过后来的英国分析学家对它们的利用。要解决的问题是把手头的表达式展开为特征函数的可展开性问题，这可以被视为傅立叶级数的一般化。
施图姆不仅研究了傅立叶的热理论，还研究了他的论述方程的数值解的作品；这部作品的影响当你读到施图姆最早的重要理论成果时马上就一清二楚了。这个成果就是他的“分离定理”：任何两个（实）解的振荡都是交替的，或者说是互相分离的。施图姆—刘维尔理论不仅证明了可展开性，而且还提供了解法和特征函数求值的准则。该定理最开始并不十分严谨。到19世纪末，应用和证明的精细化才得以提供。
刘维尔还以其他各种各样的贡献而著称。在复分析领域，他的工作在刘维尔定理中被人们所铭记：如果一个复变量为z的完全解析函数f（z）在复平面上有界，那么，f（z）必定是一个常数。从这个定理出发，可以推导出作为一个简单推论的代数基本定理：如果f（z）是一个次数大于零的多项式，且f（z）在复平面上任何地方都不为零，则其倒数F（z）=1/f（z）就满足刘维尔定理的条件。所以，F（z）必定是一个常数，而它明显不是一个常数。因此，至少有一个复数值z=z0满足方程f（z）=0。在平面解析几何中，有另外一个“刘维尔定理”：从一点P到一条圆锥曲线C的切线的长度与C在相应切点上的曲率半径的立方根成正比。最后，我们不妨来看看刘维尔对实数理论最有名的贡献。
数论主要是处理整数，或者从更一般的意义上说，是处理整数的比———所谓的有理数。这样的数始终是一个系数为整数的线性方程ax+b=0的根。实分析处理的是一种更一般的数，要么是有理数，要么是无理数。从本质上讲，欧几里得就已经知道，ax^2+bx+c=0的根（式中a、b和c都是一个给定长度的整数倍）可以在几何上用直尺和圆规作出。如果方程：
的系数a、b、c…q和n都是整数，且n>2，则这个方程的根用欧几里得的工具通常是作不出的。由于每个有理数都是这样一个方程对于n=1的一个根，问题自然来了：每个无理数是不是这样一个方程对于n≥2的一个根？对这个问题的否定回答是刘维尔在1844年证实的，那一年，他构建了一个范围广泛的代数实数类。他发展出来的这个特殊的类被称作刘维尔数，范围更广泛的非代数实数被称作超越数。刘维尔对超越数的构建十分复杂，但我们还是可以给出超越数的某些简单实例，比如0.1001000100001…或下面这种形式的数：
要证明某个特定的实数———比如e和π———不是代数数，通常十分困难。例如，刘维尔能够证明e和e^2都不可能是一个系数为整数的二次方程的根；因此，给定一个单位线段，长度为e和e^2的线段都不能用欧几里得的工具作出。但差不多又过了30年，对刘维尔的观点追根究底的法国数学家夏尔·埃尔米特才得以能够在1873年科学院《通报》上的一篇论文中证明：e不可能是任何系数为整数的多项式方程的根———也就是说，e是超越数。
π这个数的身份问题跟e比起来，让数学家们倍感困扰的时间还要长9年。朗伯在1770年、勒让德在1794年都曾证明，π和π^2都是无理数，但这个证明并没有终结古老的化圆为方问题。问题最终是1882年在慕尼黑大学的林德曼发表于《数学年刊》上的一篇文章中才得以尘埃落定。这篇题为《关于π这个数》的文章，在扩展刘维尔和埃尔米特的工作的过程中，最终证明了，π也是一个超越数。这就是对化圆为方这个古典问题的最后回答。要使化圆为方用欧几里得的工具可以作出，π这个数就必须是一个代数方程的根，而且这个方程必须有一个可以用平方根表示的根。既然π不是代数数，圆就不可能依照古典法则化为方。在这次成功的鼓励下，费迪南·林德曼后来发表了好几个费马大定理的所谓证明，但它们全都被其他人证明是无效的。
埃尔米特是19世纪法国最有影响的分析学家之一。他最早引起关注是在1842年，当时还是一个高中生，凭借的是提交给《新数学年刊》的两篇论文。其中有一篇论文是对五次方程可解性的非常简洁的阐述。1858年，他和克罗内克都用椭圆模函数解出了五次方程。1864年，他在研究无界区间上函数展开式的问题时贡献了一种新的特殊函数类。具有讽刺意味的是，这位伟大分析学家的名字如今更频繁地出现在代数学中，而不是出现在分析学中：给定一个矩阵（n×n列）H；设矩阵的每个元都被复共轭所取代，并把所得到的矩阵称作H*，则该矩阵被称作埃尔米特矩阵。1858年，埃尔米特证明，这样一个矩阵的特征值是实数。先前他曾为一个矩阵M创建了“正交”矩阵这个术语，其条件是：M等于M*的逆。
19世纪法国分析学家们的稳定贡献证明了法国分析学土壤继续肥沃丰饶；但最显著的标志是庞加莱和他年轻的同时代人呈现给新世纪的壮观展示。
