之前我们已经介绍了三次数学危机，其中第一次是由无理数引发的数学危机；第二次则是由无穷小引发的微积分危机，这两次危机已经得到了完美解决。
第三次危机则是由罗素提出的，针对集合论自身矛盾而引发的整个数学大厦的危机，到目前为止，第三次危机还没有解决。
前面我们提到过，康托尔的集合论让众多数学家以为找到了构建数学大厦的工具。数学大师庞加莱更是在1900年的数学家大会上直接宣布数学大厦已经建设完成。可惜仅仅3年，就被罗素将打趴。
如果说罗素的理发师悖论只是延缓了数学大厦的建设，那么“哥德尔不完备性定理”就是直接宣布：数学大厦根本无法建立，这是数学家们不切实际的梦想。那么什么是哥德尔不完备定理呢？
如果真的存在数学大厦，那么在这栋大厦里，地基就是那些公理：所谓公理就是不证自明的东西，比如平面内两点之间只能画一条直线就是一条公理。定理是大厦的地基，定理就是大厦的支柱，定理由公理推倒而出。当公理和定理结合，数学就变成它认识你，你不认识它的样子了，难得要命。
不证自明的道理叫公理，根据公理可以推导出一些列的定理。数学家们将公理到定理之间的这个推导过程称为“形式系统”。理解了这些，让我们回到“哥德尔不完备定理”身上。
著名的大数学家希尔伯特作为带头大哥首先出场，这是一个牛人，曾差点在爱因斯坦之前发表相对论。这位数学界的带头大哥就想带领着一群数学家们去建立一座“数学大厦”，这是无数数学家们两千多年来的梦想。
就像前面说的，希尔伯特的设想就是将公理作为大厦的地基，然后在此基础上推导出宇宙间所有的定理。这群数学家们坚信：他们一定可以推导出所有的定理，这是建立数学大厦的原则。如果推导不出来，那不是大厦的地基出了问题，而是个人的能力问题。
在这个基础上，这群数学家们就兴致勃勃地开干了。结果，哥德尔来了，这位大神一出场，直接将希尔伯特这群数学家的数学大厦给拆了。
1931年，才25岁的哥德尔证明：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。作为哥德尔不完备性定理的第一定理，这说明在一个公理系统中，总有一些命题，我们是拿他们没办法的，就像是悖论一样。如果想要证明或者证伪这些命题，就需要额外增加公理的数量。
这一定理，直接一棒子把希尔伯特这群数学家给敲懵了。这意味着，公理的数量必须得是无限的，否则就一定存在一些领域，是我们头脑无论聪明，技术无论多先进都无法弄明白的。这并不是能力问题，而是宇宙规则给我们设置了这个障碍。
以上的推论其实有点超前，因为到目前为止我们人类还远没有达到这个地步。哥德尔的原话是：如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。这就是“哥德尔不完备性定理”的第二定理。
这里非常有趣，因为前提有一个“初等数论”，也就是说必须包含不完备的自然数系统。但是在实数系统里，是可以存在完备性和一致性的。
这是啥意思呢，这就像我们做欧式几何的题目一样。对一道题而言，要么你会做可以做出来，要么你不会做，最后做不出来。一定不存在那种明知道可以做出来，但是没人能做得出来的题目。这与能力无关。
这就是个德尔不完备性定理，它是基于罗素悖论框架下的一个定理，在数学上直接证明了希尔伯特”算数公理的相容性”原理是不靠谱的，是错的。由此，以希尔伯特为首的一群顶级数学家的宏伟梦想就此破灭了。100年快过去了，如今的数学家们仍旧试图搭建所谓的数学大厦，但是从目前来看，前路漫漫。
当然，数学大厦虽然宣布失败，但是人类却走上了更加宽广的道路。哥德尔不完备性定理不仅改变了数学的发展，还改变了哲学，语言学，计算机科学和宇宙学的发展。哥德尔本人也因此被《时代》评选为20世纪最伟大的100个人物，在数学家里，他排在第一位。
第三次数学危机：罗素悖论让“集合论”不堪重负，哥德尔来了！
第二次数学危机：因芝诺的乌龟引出“无穷小”，微积分险被打倒！
第一次数学危机：希帕索斯为真理丧命，“无理数”其实很有理！
