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简单复数问题的多种变式, 高考数学的复数问题都是很简单的吗!

今天老黄要分享2022年高考数学理科全国乙卷的一道简单的复数问题,并且进行一些拓展,让大家对关于复数的问题有一个更深入的了解。下面用z'表示z的共轭复数。

已知z=1-2i, 且 z+az'+b=0, 其中a, b为实数,则

A. a=1, b=-2; B. a=-1, b=2; C. a=1, b=2; D. a=-1, b=-2

方法一:直接由z=1-2i,可以得到z'=1+2i.

那么z+az'+b=(1-2i)+a(1+2i)+b=1-2i+a+2ai+b=(1+a+b)+(2a-2)i=0,

所以2a-2=0,1+a+b=0. a=1, b=-1-a=-2.

这种方法非常基础,相信小伙伴们看完都是能够理解的。就是这个方法有点慢,至少花1分钟,用1分钟解决这么一道选择题,对于高考来说,老黄觉得花的时间有点多了。

方法二:通过逻辑思维,30秒内可以解决,可以节省一半时间以上。

能使z+az'+b的虚部消失的,必定有a=1. 而能使z+z'+b的实部为0的,必定有b=-2. 怎么样?足够快捷吧!这样的思维要学会,高考数学中必定能用到的。

下面是老黄给这道题进行的几个变式,试试你能不能把它们全部解决了。

变式1:z=1+ai (a≠0), 且 z+bz'+c=0, 其中a, b, c为实数,则b=____, c=_____.

变式2:z=a-bi (b≠0), 且 z+cxz'-2=0, 其中a, c, b为实数,则a=____, c=_____.

变式3:已知z+z'-2=0, 写出一个符合条件的z=_______.

变式4: z=a-bi (b≠0), 且 z+az'-2=b+bi, 其中a, b为实数,则a=____, b=_____.

变式1和原题完全是一致的,能使z+bz'+c的虚部消失的,必定有b=1. 而能使z+z'+c的实部为0的,必定有c=-2. 就是z的实部的两倍的相反数。

变式2中c的取值与前面两个问题同理,都有c=1, 而-2a=-2,所以a=1。

变式3还是运用“使z+az'+b的虚部消失的,必定有a=1”的原理。不过这里已经有a=1了,那说明什么呢?说明z的虚部系数是任意的,因此,最简单的答案是z=1. 当然,你要写成z=1+i或者z=1-5i,都随你。

变式4的变化有点大,但万变不离其宗,由虚部系数的关系有:-b+ab=b, 解得a=2;由实部的关系有:b=a+a^2-2=4.

怎么样?高考复数的问题是不是都很简单啊!

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