2022年新高考数学全国卷II的数列问题，结合了等差数列和等比数列的知识，同时还与集合有关，很适合现在在校的高中生，特别是高三学生拿来练手。
已知{an}为等差数列，{bn}为公比为2的等比数列，且
a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)证明：a1=b1；
(2)求集合{k|bk=am+a1, 1≤m≤500}中元素个数.
分析：(1)首先，我们要设等差数列的公差为d. 非常普遍的思路是，分别用首项、公差和公比来表示a2、a3、a4以及b2、b3、b4. 得到一个关于a1, b1和d的方程组。未必需要解得它们的根。只要推导出a1=b1的结论就可以了。
需要注意的是，题目中还设了一个小小的陷阱。就是题目所给的等式条件中，前两个式子都是{an}的项减去{bn}的项，最后一个式子故意设计为b4-a4. 假如不小心踩进这个陷阱，就算最后能发现，也是会浪费高考的宝贵时间的哦。
(2)第二小题的关键是要求得k的取值范围，再由k是整数，得到k有多少个取值，那么集合中的元素就有几个。而要得到k的取值范围，就要得到一个m关于k的函数关系式。由已知的m的取值范围，列不等式，从而求得k的取值范围。
所以bk要用含k的式子表示，am也要用含m的式子表示。可以预见的是，这两个式子都含有因式a1，从而可以把a1约掉。
其中bk=2^(k-1)b1=2^(k-1)a1；而am=a1+(m-1)d. 因此只要知道d和a1的关系，就可以达到目的。由第(1)小题，可以得到d=2a1. 这样整道题就都通了。这里运用的是一种逆向思维的方法。接下来组织解题过程：
(1)证明：设{an}的公差为d, {bn}的公比q=2.
由a1+d-2b1=a1+2d-4b1=8b1-a1-3d, 有d-2b1=2d-4b1, ∴d=2b1,
∴a1+2b1-2b1=8b1-a1-6b1, 即a1=b1, 得证！
(2)由(1)知d=2a1,
am+a1=a1+(m-1)d+a1=2ma1, bk=2^(k-1)b1=2^(k-1)a1.
当bk=am+a1时, m=2^(k-2), 解不等式1≤2^(k-2)≤500, 有
0≤k-2≤8, 即2≤k≤10，
∴集合中有元素10-2+1=9(个).
怎么样，学完这道题，有什么收获吗？
