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2022高考数学真题, 感受中国古建筑的几何美, 比例与等差数列结合

这是2022年新高考数学全国卷II的一道简单的直线斜率相关问题。我们可以从这道题中感受到我国古建筑的几何美。

中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现,如图是某古建筑物的剖面图,其中DD1, CC1, BB1, AA1是举,OD1, DC1, CB1, BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1/OD1=0.5, CC1/DC1=k1, BB1/CB1=k2, AA1/BA1=k3, 已知k1, k2, k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=( )

A. 0.75;B. 0.8; C. 0.85;D. 0.9.

分析:依题意,k2=k3-0.1, k1=k3-0.2, 因为它们成等差数列,且公差等于0.1.

接下来运用特值法,这是一种专门针对选择和填空题的方法,因为四“步”相等,所以只要记OD1=DC1=CB1=BA1=1, 下面的运算就会变得特别简单。当然,如果设OD1=DC1=CB1=BA1=a,用一个变量来表示会比较稳妥,但运算就可能会比较麻烦,这里结果是一样的,反正变量最后会被约掉。那是因为接下来关于a的运用都是乘法或同类项的加法,如果出现不同类项的加法,就有可能无法约掉a,而约不掉a的问题,就不能设它们都等于1哦。

根据题干提供的各个比例关系,就可以得到DD1=0.5OD1=0.5, CC1=k1DC1=k1=k3-0.2, BB1=k2CB1=k2=k3-0.1, AA1=k3BA1=k3.

注意四“举”的和除以四“步”的和,就是直线OA的斜率,因为四“举”的和就是A点的纵坐标,四“步”的和就是A点的横坐标,而OA是正比例函数的图像,过原点,因此OA的斜率等于直线上一点(非原点)的纵坐标和横坐标的比。从而可得:

(DD1+CC1+BB1+AA1)/(OD1+DC1+CB1+BA1)=(0.5+k3-0.2+k3-0.1+k3)/4=0.725.

解这个方程,得到k3=0.9, 选D.

题目很简单,但老黄不会管问题是否简单,老黄只想把问题说清楚,再简单的问题都会用心去写的。

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