证明：定圆内接正n边形面积将随n的增大而增大.
分析：这是显而易见的事情，稍有一点数学常识的人都知识这个规律。但如果要你证明，你会证明吗？你肯定不能说，因为当n趋近于无穷大时，正n边形的面积无限接近圆的面积，所以n越大，定圆的内接正n边形面积越大吧。因为你不能保证，这种单调性在任意n和n+1之间都一定是成立的。
有一种相对比较靠谱的推理方式是：n越大，n多边形的内心角越小，因为内心角等于2π除以n。内心角越小，n边形的边a就越小，从而边心距d就越大. 因此，只要证明定圆的内接正n边形的周长随n的增大而增大。根据正n边形的面积等于边心距乘以周长的二分之一，就可以得证。
不过问题又转换成证明“定圆的内接正n边形的周长随n的增大而增大”。你也不能说，因为当n趋近于无穷大时，正n边形的周长无限接近圆的周长，所以n越大，定圆的内接正n边形周长越大啊。同样的，你不能保证，这种单调性在任意n和n+1之间都一定是成立的。
所以最后还得回到单调性的证明上来。
证：记定圆的半径为r, 边心距为d, 边长为a, 边所对圆周角为θ,【这里不记内心角，运算会更简便一点】
则θ=π/n, d=rcosθ=rcos(π/n), a=2rsin(π/n),
正n边形的面积S=nda/2=nr^2*cos(π/n)*sin(π/n), (n≥3, 补充定义n为任意不小于3的实数)【否则就要构造一个辅助函数S(x)，注意这里不要运用正弦的倍角公式，否则会造成后面证明过程中一定的麻烦】
S’=r^2*cos(π/n)*sin(π/n) - π/n*r^2*(cos(π/n))^2+π/n*r^2*(sin(π/n))^2
=r^2*(cos(π/n))^2*(tan(π/n) - π/n)+ π/n*r^2*(sin(π/n))^2>0.【这里运用了当x>0时, tanx>x】
∴S随n的增加而增加.
不过前面我们推导过这个问题等价于证明“定圆的内接正n边形的周长随n的增大而增大”。
所以我们也可以只证明正n边形的周长C=na=2rnsin(π/n)的单调性就可以了。
因为C'=2rsin(π/n)-2rπ/n*cos(π/n)=2rcos(π/n)(tanπ/n-π/n)>0，同样可以得证。
数学是一门需要非常讲究严谨性的科学。没有经过证明，就不能随便下结论。偏偏考试的时候，为了追求高分，却不得不经常放弃数学的严谨性，这是数学学习一个莫大的悲哀。
(题外，附老黄的感慨：假如中国足球能够严谨一点，早就冲出亚洲了。)
