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民科经典: 0.9的循环小数真的等于1吗?

初中数学有一个知识,是把循环小数化为分数的方法。并且利用这种方法,似乎可以证明0.9的循环小数等于1. 那这是真的吗?

下面老黄先介绍这种方法,它利用的是一元一次方程的求解,非常简单的。比如,将我们熟悉的0.3的循环小数转化成三分之一。只要设0.3的循环小数为未知数x,那么10x就等于3.3的循环小数。

看起来很明显的,就有10x-x=3,从而解得x=1/3. 看起来多么天衣无缝。用同样的方法,就可以证明0.9的循环小数等于1。

就是设0.9的循环小数为未知数x,那么10x就等于9.9的循环小数,从而10x-x=9,这不就求得x=1了吗?即0.9的循环小数等于1.

老黄觉得,之所以0.9的循环小数被认定等于1,是因为我们提不出反驳的理由。如果我们换一种思路,结果可能会不一样。上面的计算方法,是基于0.999……不论乘以10,还是100,甚至是1000,10000,得到9.99……,99.9……等,它们的小数部分是一直保持不变的基础上才成立的。

假如我们把0.9的循环小数写成,0.9……99,情况就完全不同了。其实这种写法中,小数部分仍有无数个9,只不过被省略的部分在中间,而不是在最后。这样的话,10x就变成9.9……9,小数部分仍是无穷多个9,但比前面少了一个9. 从而10x-x=8.9……91. x就等于8.9……91除以9,结果还是0.9……99. 这样的运算,难道不比前面的方法更合理吗?

同样的,把0.3的循环小数写成0.3……33,那么10x就等于3.3……3,10x-x=2.9……97. 用2.9……97除以9,结果仍是0.3……33.

所以你可以想一下,为什么求得0.9……99=0.9……99,不如0.9……99=1;同样的,求得0.3……33=0.3……33,不如0.3……33=1/3,这是什么道理。

事实上,0.9的循环小数并不等于1,0.3的循环小数也并不等于1/3。而是0.9的循环小数的极限等于1,0.3的循环小数的极限等于1/3。

老黄更愿意把0.9的循环小数和0.3的循环小数等循环小数看作一个变量,而1和1/3分别是这两个变量的定义域。

所以用1除以3,得到的0.3的循环小数,是有一个值域的。在这个值域中,有无数个0.3的循环小数,当我们反过来要把0.3的循环小数化成分数时,我们并无法同时取所有的值,所以我们随便取得的,都只是无穷个0.3的循环小数中的一个,它是不能计算出1/3来的,而只能算出它本身而已。0.9的循环小数自然也是同样的道理。

没错,数字的本质不应该是我们平时想象的那么具体,而应该是一个类似量子纠缠的状态才对,那才是数字的本质。这就是勇士“追不上”乌龟的根本原因。而我们平时用来描述事物的“数字”,只是把数字当做一种工具,而并非数字本身的本质。

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