高考数学关于三角函数的多选题,虽然并不是很难,但是相当令人讨厌,因为在它的身上往往要花比较多的时间,而且还要非常小心,一不小心选错就丢分了,我猜你一定不会喜欢这类题。正因为如此,你更应该在平时多练练这个题型,高考中才能无往不利。下面这道题就是2022年全国新高考数学II卷的这种类型题:
函数f(x)=sin(2x+φ) (0<φ<π)的图像以(2π/3,0)中心对称, 则
A. y=f(x)在(0,5π/12)单调递减;
B. y=f(x)在(-π/12,11π/12)有两个极值点;
C. 直线x=7π/6是一条对称轴; D. 直线y=√3/2-x是一条切线.
分析:解决这道题,需要先总结出以下四个要点:
(1)因为正弦函数的参数ω=2,所以f(x)的最小正周期为t=2π/2=π,
(2)因为f(x)过(2π/3,0),即有零点x=2π/3,所以f(x)的零点为x=2π/3+kπ (k∈Z).
(3)f(x)的极大值点在零点向右平移四分之一周期,也就是在x=2π/3+π/4+kπ=11π/12+kπ取得极大值。
(4)f(x)的极小值点在零点向左平移四分之一个周期,也就是在x=2π/3-π/4+kπ=5π/12+kπ取得极小值。(3)(4)都是结合正弦函数的周期性状得到的。如果不理解,可以结合草图。其实这里也有可能是极大值在零点的左侧,极小值在零点的右侧。如果要分析排除这种情形的可能性,实在非常麻烦,必须通过检验才行。这里就省略了!
当k=-1时, 可求得f(x)的一个极大值点x=-π/12; 当k=0时,又可以得到函数的一个极小值点5π/12。[-π/12, 5π/12]正好是正弦函数的半个周期,而且是单调递减的半个周期。而A选项的区间属于这半个周期,即(0,5π/12)⊂[-π/12, 5π/12],所以A选项是正确的。
由(1)(3)可知,B是错误的。因为函数最小正周期等于π,在一个周期上,正弦函数最多有两个极值点,而B选项中的区间正好是一个周期,而且是一个开区间,(3)中又指明了这个周期区间的右端点是在整个函数中是一个极值点。这样的周期开区间上,就只能有一个极值点,所以B错误。
由(4)可以知道x=5π/12是函数图像的一条对称轴,又7π/6-5π/12=3π/4,即x=7π/6与对称轴x=5π/12的水平距离是四分之三个周期。说明这其实是一个零点,而不是一个极值点,即不是一条对称轴,所以C错误。
现在只有A选项确定是正确的,因为是多选题,所以最后一个选项D,也是正确的。如果要正面分析D选项的正确性,就几乎要另开一个炉灶了。
这回需要由零点x=2π/3,即f(2π/3)=sin(4π/3+φ)=0, 得到4π/3+φ=kπ, 并求得φ=kπ-4π/3,或φ=kπ+2π/3。
对函数求导,当f’(x)=2cos(2x+φ)=-1,即切线斜率为-1时, 2x+φ=-π/3+2kπ或2π/3+2kπ.
当k=-1时,x=0,f(0)=sin(-π-4π/3)=-√3/2, 这就是切线所经过的点,用点斜式列切线方程,就可以得到D选项中的直线. 因此D正确。答案选A、D.
这道题怎么样?够麻烦的吧!不过如果你能画出函数的图像,根据图像,ABC都是可以检验判断出来的。D选项就没有那么方便了。你觉得呢?