学过高数或者爱好数学的小伙伴们肯定知道或者听说过实数具有完备性，而有理数或无理数就不具有完备性。那么你知道有理数和无理数为什么没有完备性吗？老黄这里就要和你好好唠唠这个问题。
所谓完备性，可以理解为，数集内的运算，包括求极限，都是封闭的。即，实数的运算结果都是实数，求极限的结果也都是实数，所以说实数有完备性。而有理数集的极限有可能是无理数，无理数集运算的结果和极限也都有可能是有理数，所以它们都不是封闭的，因此都没有完备性。在不同的数学范畴内，对完备性的理解可能会有所不同，这里就不做详述了。下面主要针对有理数集不具有完备性进行数学分析。
在高数中，我们也可以用实数完备性的六大基本定理来解析。而有理数集中很明显并不符合确界原理，单调有界原理，聚点原理、区间套定理以及柯西收敛准则。六个基本定理中，有五个不满足，因此有理数集并不具备完备性。
你能举例说明有理数集内，这五个基本定理都不满足吗?
解：设an=(1+1/n)^n, bn=(1+1/n)^(n+1), (n=1,2,…)【我们可以取这两个有理数列，它们在高数中经常被使用，因为它们的形式非常相似，但单调性却完全相反】
{an}是单调递增的有理数列，{bn}是单调递减的有理数列，【这在《老黄学高数》系列视频第76讲中，有过相关证明】
且lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn=e，e为无理数.【可见这两个数列都以e为极限，e就是自然常数，它是一个无理数。按完备性的概念，这里已经可以得出有理数没有完备性的结论了。至于无理数集，要证明它没有完备性就更简单了，比如根号2-根号2=0，结果是一个有理数，所以无理数集没有完备性。也可以构造根式数列，使它们的极限等于一个有理数，比如根号(n^2+1) /n,这是一个无理数列，但它的极限等于1，也是一个有理数。不过这一讲的内容，主要是判断有理数集不具有五个基本定理，所以解题还需要继续进行。】
(1)点集{an|n=1,2,…}非空有上界,但在有理数集内无上确界；【因为任意两个有理数之间都存在无理数，所以任何上界，都至少存在一个正无理数，使它减去这个正无理数之后，仍是点集的上界。因此没有上确界。或者直接说成，an的上确界是无理数e，应该会更容易理解一点】
类似的，点集{bn|n=1,2,…}非空有下界，但在有理数集内无下确界.
即在有理数集内，确界原理不成立. 【其实上面两个点集，只要确定一个，就可以判定了，即有一个不符合确界原理，就可以肯定确界原理在有理数集不成立了】
(2)数列{an}单调递增有上界，但在有理数集无极限；
数列{bn}单调递减有下界，但在有理数集无极限.【因为极限都是无理数e】
即在有理数集内，单调有界原理不成立.
(3)点集{an|n=1,2,…}有界无限，但在有理数集无聚点.【因为在实数范围内，唯一的聚点是无理数e】
即在有理数集内，聚点定理不成立.
(4)数列{an}满足柯西收敛条件，但在有理数集内无极限.
即在有理数集内，柯西收敛准则不成立.
(5){[an,bn]}是一个闭区间套，但在有理数集内不存在一点ξ，使得ξ∈[an,bn], n=1,2,…【因为两个点集在有理数集上都没有聚点，更不可能有相同的有理数聚点了，因此，这个区间套不能确定一个有理数点】
即在有理数集内，区间套定理不成立.
当然，六大基本定理中，还有一个有限覆盖定理，在有理数集上倒是成立的。不过那样意义不大，改变不了有理数没有完备性的事实。类似的，我们也可以证明无理数的这五个基本定理都不成立。你能自己证明吗？
