当前位置:首页 > 高考

2011年高考数学压轴题, 导数综合题, 正确率不到5%

大家好!本文和大家分享一下这道2011年高考全国1卷数学压轴题。这是一道导数综合题,综合考查了导数的计算、导数的几何意义、直线方程、导数与函数单调性以及分类讨论等知识。这道题的难度还是比较大的,特别是第二小问的正确率不到5%。

先看第一小问:求a、b的值。

a、b是两个参数,要求两个未知数的值需要两个方程,也就是需要两个条件。但是题干只告诉了切线方程这一个条件,所以我们需要充分挖掘切线方程隐含的信息。

首先,该切线过点(1,f(1)),所以将x=1代入切线方程可以得到y=1,即f(1)=1。根据f(x)的解析式可知,f(1)=b,所以有b=1。

其次,由切线方程可以求出该切线的斜率为-1/2,结合导数的几何意义可得f'(1)=-1/2。所以先对f(x)求导,得到f'(1)=a/2-b,则有a/2-b=-1/2,解得a=1。

再看第二小问:求k的取值范围。

第二小问的难度很大,我们先和大家分享一下参考答案的解法,然后再重点和大家分享一个更加容易理解和想到的解法。

解法一:

f(x)>lnx/(x-1)+k/x,就等价于f(x)-lnx/(x-1)-k/x>0,所以就变成了函数g(x)=f(x)-lnx/(x-1)-k/x的最小值大于零。

先对g(x)求导,然后将k分为(-∞,0]、(0,1)、(1,+∞)三种情况进行讨论,最终得出k的取值范围。

对于解法一,很多同学表示很难想到将k分为这三类来讨论,本文也就不再赘述了,有兴趣的同学可以看一下上图的解析。接下来重点和大家讲一下解法二。

解法二:

求参数的取值范围,在高中阶段有一个非常重要的方法就是参变分离,也就是将参数和变量分开。本题参变分离后得到k<-2xlnx/(x^2-1)+1在x>0且x≠1时恒成立,于是就转化成了一个恒成立问题。再进一步转化就变成了k小于等于函数g(x)=-2xlnx/(x^2-1)+1在x>0且x≠1上的最小值。

先对g(x)求导,见下图。从g'(x)的表达式来看,g'(x)的正负取决于分子的正负,所以我们先讨论分子的正负。令h(x)=x^2-x^2lnx-lnx-1,则h'(x)=x-2xlnx-1/x,h''(x)=1/x^2-2lnx-1。

由于h''(x)在x>0时为减函数,且h''(1)=0,所以有h'(x)<h'(1)=0,从而得到h(x)为减函数,且h(1)=0。于是,当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,所以有g(x)>g(1)。

但是,当x=1时,g(x)无意义,也就说无法求出g(1)的值,那该怎么办呢?如果我们只看g(x)分式的部分,可以发现当x=1时,分子分母都为零,且分子分母的导数都存在,所以可以用洛必达法则来求解。即将分子分母先求导,再求极限,从而得到g(1)=0。于是就有k≤0。

洛必达法则解这道题的思路比解法一更简单,但是在高考中用洛必达法则可能会扣分,所以洛必达法则在高考中尽量少用。

本文来自网络,不代表教育资讯立场,转载请注明出处。