1.计算∫(18x-31)dx/(9x²-31x+15)。
解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(9x²-31x+15)'=18x-31，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式∫dx/x=lnx+c来变形计算。
∫(18x-31)dx/(9x²-31x+15)
=∫d(9x²-31x)/(9x²-31x+15),
=∫d(9x²-31x+15)/(9x²-31x+15),
2.计算∫(19x²-7)²dx.
解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：
∫(19x²-7)²dx
=∫(19²x⁴-266x²+7²)dx,
=∫19²x⁴dx-∫266x²dx+∫7²dx,
=1/5*19²x⁵-1/3*266x³+7²x+C.
思路二：通过分部积分进行计算，有：
∫(19x²-7)²dx
=(19x²-7)²x-∫xd(19x²-7)²，
=(19x²-7)²x-4*19∫x²(19x²-7)dx，
=(19x²-7)²x-4*19∫(19x⁴-7x²)dx，
=(19x²-7)²x-4*19²∫x⁴dx+4*19*7∫x²dx,
=(19x²-7)²x-(4/5)*19²x⁵+2/3*266x³+C。
3.积分∫dx/(x²-26x+179)的计算。
解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=26²-4*179<0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式∫dx/(1+x²)=arctanx+C变形计算即可，有：
∫dx/(x²-26x+179)
=∫dx/(x²-26x+169+10),
=∫dx/[(x-13)²+10],
=(1/10)∫dx/[1+(x-13)²/10],
=(1/√10)∫d(x/√10)/[1+(x-13)²/10],
=(1/√10)arctan[(x-13)/√10]+C。
4.计算∫(69/18x+54x/3)²dx.
解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：
∫(69/18x+54x/3)²dx
=∫[(69/18x)²+2*69/18*54/3+(54x/3)²]dx,
=(69/18)²∫dx/x²+138/1∫dx+(54/3)²∫x²dx,
=-(69/18)²/x+138x/1+1/3*(54/3)²x³+C。
5.计算∫(12x³-2x²+26)121(36x²-4x)dx不定积分计算
解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(12x³-2x²+26)'=36x²-4x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：
∫(12x³-2x²+26)121(36x²-4x)dx
=∫(12x³-2x²+26)121d(12x³-2x²+26),
=(1/122)*(12x³-2x²+26)122+C.
6.计算∫xln(9x-62)dx。
解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：
∫xln(9x-62)dx
=(1/2)∫ln(9x-62)dx²，
=(1/2)x²ln(9x-62)-(1/2)∫x²dln(9x-62),
=(1/2)x²ln(9x-62)-(9/2)∫x²dx/(9x-62),
=(1/2)x²ln(9x-62)-∫(x+62/9)dx-
(62/9)²∫d(9x-62)/(9x-62)
=(1/2)x²ln(9x-62)-(1/2)x²-62x/9-
(62/9)²*ln(9x-62)+C。
