平面几何处理平面上的点线面的几何结构和度量性质问题，它在数学领域中具有基本的地位。许多平面几何问题很简单不难解决，有的很复杂难于解决。但还有一些平面几何问题，看起来简单，可是事实证明，至今无人能解决。
1. 用 n 条线段最多能够得出多少个不重叠的三角形？
显然，不可能用1或2条线段来绘制任何三角形，可以用3条线获得1个三角形，可以轻松地找到具有4条线所得出的2个三角形，5条线所得出的5个三角形的配置。如下图所示，用3、4、5、6、7条线段所能得出的不重叠的三角形。
推而广之，如果有 n 条线段，显然，对于最少情况，可以重合为1或2条线段来不构成任何三角形，或可以重合为3条线获得1个三角形；问题是，在最多情况下，能够得出多少个不重叠的三角形呢？这个问题至今无人能解。
这个问题又称为
“藤村幸三郎的三角形问题”（Kobon triangle problem）
，系这位日本教师在1983年提出。简单来讲，这个问题在数学上是这样描述的。
如上图 I 所示，与其它平面几何问题不同，它不是计算三角形ADE，因为它被B、C、F三线段切出。基于这个基本协议以避免三角形的重叠，如ADE会与三角形ABC重叠。
一个称为Kobon的序列，譬如从K(1)、K(2)、K(3)、……K(9)的序列为：0,0,1,2,5,7,11,15,21，分别代表1-9的线段数及其所得出的最多的三角形数。每当发现具有n条线和m个三角形的配置时，都证明K(n) ≥ m。存在一些通用构造，该构造为每个n提供具有所得三角形的线的布置。从这种构造中，可获得数字K(n)的下界，已知最好的是：
如上图 II 所示，n行配置包括在含有2n边的多边形的对角线的适当选择。在此图片中显示了n = 6、7的相应配置，它们都不是最优的，因为K(6) = 7，K(7) = 11。
问题是，要证明给定的配置是最优的并不容易。一种已成功用于n值的可行策略是，找到数字K(n)的某个上限M(n)，然后找到具有n条线和M(n)个三角形的配置，使这种方式成为可能的结果之一是：
可是，这种策略并不总是令人满意：经常在最知名的配置和最知名的上限之间存在差距。例如，n = 10就是这种情况：已知的10条线最佳配置得到25个三角形。但是该边界仅保证K(10) ≤ 26。也许边界还不够紧密？还是可以找到具有10条线和26个三角形的配置？
2. 移动沙发问题
小学生都知道这个问题在讲啥。这个问题由L. Moser在1966年提出。在数学中，移动沙发问题（moving sofa problem）或沙发问题要求面积S的刚性二维形状可以通过具有单位宽度的L形平面区域的最大化值，这个最大化的确切值无人能解。
数学上一般来讲，将“走廊”作为平面区域：H = {(x，y)：x，y≤1，x或y大于或等于0}。S必须是H的子集，因此，如果（x，y）∈S，则0≤x≤1，y≤1。必须能够使S严格穿过H。形式上，对于代表时间并在封闭间隔I中变化的参数t，需要在平面Φt中找到一个单参数刚体运动，使得对于每个t∈I，“沙发在走廊内”（Φt (S)H），同时沙发连续运动且没有通过走廊的传送，对于任何固定的（x0，y0）∈S，γ（t）= Φt（x0，y0）是参数化的平面曲线。
熟知的解决方案的形状，其面积约为2.2195，使人联想到电话形状（如上图II），它被认为是最佳的沙发。上图III表示这个“电话形状”如何在拐角处移动。
可能会找到两种不同类型的尝试来获得最佳沙发。一种是电话形考虑了一种计算方法，沙发是由18个弧形连接而成（如上图II所示）；一种是宜人沙发型使用了分析方法，由18个曲线部分组成，下限大约1.64495521。最新的研究结果是于2017年6月发表的论文指出，这个值不超过2.37。
3. 最小需要多大的纸，才能画下所有周长一定的图形？
这个问题又称为
莫瑟的蠕虫问题（Moser's worm problem）
，莫瑟于1966年提出。
问题的数学定义是：将蠕虫定义为长度为1的任何平面曲线。将笼子定义为可以容纳任何蠕虫的平面区域，蠕虫具有无法更改的固定形状，但是可以旋转和平移以固定到该区域中，找到面积最小的笼子（如果存在的话）。
最近，许多研究将注意力转向了另外需要保持架为凸形的情况，将此问题称为莫瑟凸虫问题（Moser’s convex worm problem）。
容易找到可以容纳任何蠕虫的简单区域。例如，直径为1的圆盘是一个笼子，还证明了具有边长1和1/√3的菱形，从而获得“胶合”两个等边1/√3的笼子。最近研究表明30个圆形扇形也是一个笼子。这是目前已知的最佳凸保持架。但对于一般情况，最好的笼子是是非凸的，面积约为0.2604。
问题是是没有已知的通用策略来显示给定的平面区域是一个笼子。试图找到这样的策略：猜想一个区域是一个笼子，当且仅当它可以容纳任何多边形蠕虫，也就是任何多边形链，段的连接且有限的序列，每个段的起点元素是具有三个元素且长度为1的前一个元素的端点，但后来被反对，显示不能用任何其它自然数代替以获得有效的结果。
还可能出现以下情况：它可能存在一个值，这样可以找到面积与想要的A尽可能近的笼子，这不可能发生在莫瑟凸虫问题上。
4. 圆形包装问题
这个问题由数学家厄尔多斯与欧勒提出，又称为
厄尔多斯-欧勒包装问题（Erds-OLER PACKAGING PROBLEM）
。
问题的数学定义是：对于每个n∈N，找到最小的三角形，可以在其中封装半径为1的n个圆。通过封装，n个圆必须完全包含在三角形中且不重叠。
这个问题属于圆形包装问题。陈述中的“三角形”一词可以替换为“圆形”，“正方形”和“与给定给定的多边形”，以获得与此问题同样有趣的另一个问题。要确定哪个是该特定声明的第一个提及部分并不容易。但是将提供具体案例的具体信息和作者，如下所述。这还与以最密集的方式将圆存储在平面中的问题以及图厄定理有关（参见下图I）。图厄定理指出，在平面中存储圆的最密集方式是在此粉笔盒中显示的这种六边形图案。尽管该定理以图厄命名，但它似乎是拉格朗日第一个证明的定理。
此时三角数的序列为1、3、6、10，...。 。 。三角数对应于上图II中显示的几何图案，因此对于n≥2，该序列满足以a(n) = a(n-1) + n的形式获得第n个元素an。等同于，n≥1，a(n) =（n（n + 1）/ 2）。这个顺序与问题直接相关。对于任何三角数n，问题可很快解决。圈的组织方式很明显，如上图III可以找到三个圆圈的最佳包装。要验证这一点，如果存储圆的最佳方法不是这种方法，则这将与Thue的定理相矛盾。已知最多需要n = 18的三角形。其中，在n≤36的情况下提供了解决该问题的数值方法。
问题的以下特殊情况也引起了极大的兴趣，它由Erds和Oler讨论，于1961年发布（上图IV）：令n为三角数，包装n-1个半径为1的圆和包装n个半径为1的圆所需的最小等边三角形是相同的。
5. 森林迷路问题
这个问题的作者是R. E.贝尔曼于1956年提出，又称为
贝尔曼森林迷路问题（bellman's lost in the forest problem）
。假设一个徒步旅行者迷失在森林中，他知道森林的形状（想象他有一张地图）。 （1）他不知道他位于森林的哪一点，也不知道他在朝哪个方向看。（2）他想决定哪一种是逃离森林的“最佳”方法。从徒步旅行者的角度来看，尚不清楚“最佳”是什么意思。
这个问题的数学定义是：令F为为森林的平面区域。求出一个参数化的曲线C，使得（1）对于每个P∈F，对于每个C与起始点为P的曲线C一致，C从F逃离（它不包含在F中），而其中的（2）找到了“最佳”可能的选择。
以“最佳”来解释最坏情况下的最短逃离时间，换句话说，为保证逃离的最短轨迹。也有其他研究将“最佳”解释为使平均逃离时间最小化的轨迹。在此案例中，该问题与Moser蠕虫问题密切相关：如果长度为1的任何曲线不能保证从森林中逃离，则该森林就是一个笼子。
对于F的非常简单的选择，这个问题仍然存在，要求的曲线可能不是唯一的：
可以将直径为L的胖森林定义为任何森林F，使得（1）包含两点P，Q，使得P，Q之间的距离与F的直径重合，F和（2）F包含一个菱形，其对角线的长度为L和L / √3，其中主要对角线为线段PQ。然后可以轻松地证明任何直径L的密林都需要一个至少L的长度轨迹，实际上，最佳轨迹是长度恰好为L的直线段。这包括F为圆盘、某些圆形扇区和n> 3的规则多边形。
对于无限频带，解决方案是Zalgaller曲线，惊奇的是，答案不是直线段。此解决方案也适用于偏心矩形。
对于三角形，问题仍然没有解决，有一个对等边三角形的最佳曲线的猜想。
6. 内接正方形问题
在一张纸上画一个圈，可以是任何形状，只要是不交叉的闭合圈即可。根据假设，在这样的闭合圈内，应该能够绘制一个正方形，使四个角都与这样的圈接触，就像下图所示。看起来够简单……，但是从数学上讲，存在有很多可能的环形，目前尚无法确定正方形是否能够对所有任意的环形形状成立。对于许多其他形状，例如三角形和矩形，已经解决了这一问题，但对于正方形，到目前为止，数学家还没有正式的证明。
这个问题在数学的描述为平面上这样一条闭合的（起始点和最终点重合）且简单（内射性，因此“它不会多次遇到同一点”）的曲线被称为若尔当曲线（Jordan curve），它将平面划分为两个区域：其中一个有界，称为内部区域，另一个无界，称为外部区域。
如下图所示若尔当曲线的圆，可以有无限多个正方形。在右侧的若尔当曲线较为复杂，有一个正方形。正方形的四个顶点包含在曲线中，而不是整个正方形包含在内部区域中。
陶哲轩等卓越的数学家都参与了这个问题的研究，做了几种尝试解决这个问题。问题是若尔当曲线可能非常复杂。例如，它们可能具有无限长度。对于“简单的” 若尔当曲线系列，如凸曲线、多边形、分段分析曲线、相对于直线或点的对称曲线、局部单调曲线、C1曲线等，已经解决了这个问题。但是对于普遍性的问题已经存在了一个多世纪。
有一些结果，表明任何若尔当曲线都刻有某些给定族的多边形，与一个给定族，三角形、菱形、矩形等价的三角形。若尔当曲线纯粹是拓扑结构，对这种曲线知之甚少，因此几乎没有任何属性可以使用。由于若尔当曲线族中有许多怪形曲线，因此所能提出的简单的几何策略总是不能解决问题。
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