近年来,以高等数学知识为背景的不等式综合题,在高考中频繁出现,常常充当压轴题的角色,经研究不难发现,在与高等数学交汇的前提下,此类问题量现出以下特点:
(1)在知识层面上:或以函数知识为载体,研究相关函数的离散性质;或以数列知识为依托,研究无穷级数的敛散性;
(2)在方法层面上:证明题重点考查迭代法,放缩法,数学归纳法等重要证明方法和技巧;
(3)在新教材层面上:导数等新增内容进入高考。
为利用导数工具研究函数问题提供了可能,从而为此类问题注入了活力,今天我们对此类高等数学背景下的不等式问题进行分类剖析,希望对高考复习有所帮助。
不等关系作为重要的数学模型,它除了是学习、解决和研究数学中各种问题的有力工具,更能我们解决生活和工作当中遇到的问题。因此,作为选拔人才的高考更是少不了不等式的存在,主要针对高中数学不等式高考试题分析与教学策略展开讨论与分析。
不等式有关的高考试题分析,典型例题1:
若实数x,y,z满足4x+3y+12z=1,求x²+y²+z²的最小值.
解:根据题意,实数x,y,z满足4x+3y+12z=1,
则有(4x+3y+12z)²≤(x²+y²+z²)(4²+3²+12²),
即1≤169(x²+y²+z²),
即有x²+y²+z²≥1/169;
即x²+y²+z²的最小值为1/169;
故答案为:1/169.
考点分析:
二维形式的柯西不等式.
题干分析:
利用条件x+2y+3z=1,构造柯西不等式(4x+3y+12z)²≤(x²+y²+z²)(4²+3²+12²),变形即可得答案.
不等式有关的高考试题分析,典型例题2:
(Ⅰ)若关于x的不等式f(x)<g(x)有解,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为(b,7/2),求a+b的值.
考点分析:
绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
题干分析:
(Ⅰ)求出g(x)=a﹣|x﹣2|取最大值为a,f(x)的最小值4,利用关于x的不等式f(x)<g(x)有解,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为(b,7/2),代入相应函数,求出a,b,即可求a+b的值.
不等式有关的高考试题分析,典型例题3:
(Ⅰ)求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若a的最大值为k,且m+n=2k(m>0,n>0),求证:1/m+4/n≥3.
考点分析:
基本不等式;绝对值三角不等式.
题干分析:
(Ⅰ)利用绝对值的几何意义,求出表达式的最小值,即可得到a的范围,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得m+n=3,则(1/m+4/n)=(1/m+4/n)(m+n)/3=(1+4+n/m+4m/n)/3,根据基本不等式即可证明.