第1讲 等腰三角形的判定
看了我上篇文章的同学，现在是否豁然开朗？如果你还没阅读，建议你还是先回头看一看我的上篇文章《初中几何，掌握了这套学习方法，数学会得心应手》。如果你认真阅读了，相信一定能对你有所启发，帮助你改进数学学习方法，并且至少初步解决我们大多数同学最头疼的问题：面对一道几何题，从何入手，如何去思考？
自从文章发表后，收藏量和转发量不断攀高，不少同学电我表示写得太好了，但希望我能对后两步学习方法再多举些例子。今天我们就先以等腰三角形为例，来进一步擅述我前篇文章总结的后两步学习法：第二步“如何去思考”以及第三步中的“理论知识点归纳法”。
也许有同学会说，网上有那么多关于“等腰三角形的判定”，你这有什么不同吗？是的，我的不同就是结合了我自己的“如何去思考”以及如何去归纳整理的方法。
根据我们初中学过的理论知识，我们先将等腰三角形的判定方法归纳整理如下：
1、定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2、判定定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （等角对等边）
3、“三线合一”法：
①在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
4、其他方法：有两条角平分线或中线、或高相等的三角形是等腰三角形。（不常用）
通过以上排序将等腰三角形的判定方法归类，是不是非常方便我们记忆？先定义和判定定理，再“三线合一”法，最后其他方法，符合我们对事物发展规律的认识吧。
等腰三角形
例1、定义法
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
图1-1 定义法判断 等腰三角形
图1-2 定义法判定 等腰三角形
（【重要方法】利用等腰三角形的边来构造全等三角形将单独作为一个专题讨论，此处不做详述）
（2）证明：∵E是AB中点，∴EB=EA，
∵AD=BE，∴AE=AD，
∵AD∥BC，∴∠4=∠ACB=45°，
∵∠5=45°，∴∠4=∠5，
又∵AD=AE， （注意此处“三线合一”的应用）
∴AC⊥DE，且EO=DO，即AC是线段ED的垂直平分线；
【如何去思考】 本题第（3）问要求证△DBC为等腰三角形 。上面我们归纳了很多种判定等腰三角形的方法，应该选择哪一种呢？ 题目中△DBC没有高和中线，也没有关于△DBC每个角的度数能够求出来，所以不能用判定定理和“三线合一”，我们只能利用定义法证明。而定义法需要两个边相等，这时我们可以充分利用（1）（2）问的结论，解题方法如下：
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）．理由如下：
∵由（2）知：CD=CE，
由（1）知：CE=BD，
∴CD=BD．
∴△DBC是等腰三角形．
（重要说明：利用定义法去证明等腰三角形时，通常要构造全等三角形，全等三角形的一个重要作用就是对应边和对应角相等。本题在第（1）（2）小问）
例2、判定定理法
操作发现 将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．
图2 判定定理法判定等腰三角形
【如何去思考】第（1）小题是要求△CDO是等腰三角形
我们先看题目中的关键语句是：等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上。我们从关键语句上可以提取两个有用信息：①“旋转”可推BC=DE；②30°。
因此一看到这个关键语句我们立刻就应该发现用等腰三角形的判定定理去做本题最简便。因为题目中没告诉你边有多长，也不好用全等，更没有高和中线的信息，那就只能用判定定理了。既然是利用判定定理2，我们就要在题目中利用角的关系定理解出更多的角。而角的关系定理我们最常用的就是“外角定理”和“三角形内角和等于180°”。
（1）证明：由图①知BC=DE， （先从关键语句中旋转”二字可推BC=DE）
∴∠BDC=∠BCD。 （边角关系互相转化）
∵∠DEF=30°， （先从关键语句出发）
∴∠BDC=∠BCD=75°。 （再利用角的关系：三角形内角和等于180°）
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°。
∴∠DOC=∠BDC。 （利用判定定理的证）
∴△CDO是等腰三角形。
因为本篇文章讨论的是等腰三角形的判定，第（2）问只给出答案。
作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，
例3、“三线合一”法：
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
图3-1 “三线合一”法判定等腰三角形
（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是．
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）把△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果∠ABD＝30°（D在Rt△ABC内部，如图3），AB＝BD，
求证：AD＝CD．
（本文重点讨论等腰三角形的判定，因此（1）（2）问不做具体分析）
【解答】解：（1）较为简单。仅做提示：PM、PN分别是△DCE和△CDB的中位线，根据条件易得BD＝CE∴PM＝PN；
又∠BAC＝90°，PM∥CE，PM∥CE，易得PM⊥PN
（2）△PMN是等腰直角三角形，理由：
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， （再次出现利用等腰三角形的边构造全等三角形）
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， （三角形外角定理）
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形。
下面我们来详细讨论第三问应该怎么做
【如何去思考】要证明AD＝CD，实际上就是证明△ACD为等腰三角形。我们仔细分析发现，难以利用定义法（∵以AD和CD的边所有三角形难以构造全等三角形）和判定定理法（∵∠ACD难求）去证明。 这个时候我们就认真读一下第（3）问条件，发现：
关键语句：∠ABD＝30°，AB＝BD。还记得我们在《初中几何，掌握了这套学习方法，数学会得心应手》文中具体方法归纳法中提到的30、45、60特殊角吗？【重要方法，请牢记】当碰到这些特殊角，我们在一般什么也不管，先构造直角三角形再说。如图，过点A作AG⊥BD于G。
（3）如图3，过点A作AG⊥BD于G，过点D作DH⊥AC于H，
∴∠BAG＝60°，AG＝AB＝AC，
（构造直角三角形后利用直角三角形中30°所对的边时斜边的一半）
∵AB＝AD，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°， （边角相互转化，什么也不用管，算出所有能算的角）
∴∠GAD＝15°，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝15°，
（此时，我们猛然发现原来AD就是∠GAH的平分线，那我们就可以利用角平分的性质了。【重要方法】有了角平分线，角平分线上的一点D，有DG⊥AG，我们继续过点D做另外一边的垂线不是吗？即作DH⊥AC于H）
∴∠GAD＝∠DAC，
∴△ADG≌△ADH，
∴AH＝AG，
∴AH＝AC，（此时目光锐利的同学就应该发现我们可以利用三线合一的性质来证明）
∴CH＝AH，
∵DH⊥AC，
∴AD＝CD． （“三线合一”，说明△ACD为等腰三角形）
图3-2 “三线合一”法判定等腰三角形
好，今天的分享就到这里。欢迎您阅读我的原始文章《初中几何，掌握了这套学习方法，数学会得心应手》！
