该问题之前有过一次推送，链接为高考复习数列专题案例分析：类周期数列的前n项和的求法，上课的时候有学生问到了这种题目，将该问题分享出来，顺带将此类问题再做一次小结。
这种问题在全国卷和新高考中并不常见，一百多套试题中才可能有一至两道这种题目，这种题目本身难度也不大，甚至相比于分奇偶项的数列求和还有简单一些，题目中包含了三角函数，而三角函数本身是具有周期性的，加之三角函数图像的对称性，所以此类问题的大体解题思路就是找规律，或者试图找相同项数之和之间的关系，例如S4，S8-S4等等，先看最常见的数列三角题目求和类型：
三角函数周期为4，若选取n=1,2,3,4，则对应的三角函数值为1,0,-1,0,再往后依次循环，因此只需考虑三角函数不为零的时候即可，此时三角函数值互为相反数，若结合前面的n，则数列前四项为1,0,-3,0，S4=-2,下一个周期所对应的数列和为(1+t)×1+(3+T)×-1=-2,因此每个周期的数列和均相等，这是处理此类问题最常见最基础性的方法，若与三角相乘的部分不再是一个等差数列，例如相乘的部分为n²，此时依旧考虑以四项和为研究对象的数列，此时四项和作为新的数列可能是等差数列而不再是上述的常数列，无论与之相乘的是什么，做法依旧如此。
在小题中可以直接先判断周期再判断周期内项数和满足一个什么数列，但如果出在大题中则需要写出完整的步骤。
第二题根据所求形式，显然需要得到一个a1+m的定值，利用均值不等式求最值，给出来的条件包含m和S2019,则需将S2019转化为a1和m的形式，对题目中的n进行赋值时可得到a1+a2，a2+a3，...,因为要求a1，所以可把a1独立出来，将前2019项和写成a1+(a2+a3)+(a4+a5)+...+(a2018+a2019)即可，这里需要判断a2018+a2019的值是2018还是-2018，判断时根据2018符合哪个等差数列即可，这里是最容易出错的地方，可求出m+a1=1，所求最小值即可求出。
第三题是学生问的题目，将函数化简为f(x)=3cos(πx/4)，将an当作变量，此时an的范围为[0,4]，根据图像可知f(x)是完整的半个周期，x=2为零点，又因为an是等差数列，所以πan/4也为等差数列，前2019项和为0，所以可知f(1010)=0，据此可求出a1010,再根据等差数列求和公式求出S2019即可。
更多题目无需再说，原理都相似，以三角函数为出发点的数列题即考查三角函数本身的周期性也考查了数列本身的求和性质，难度不算大，但历年高考中很少涉及此类问题，今年是很多省份第一次使用新高考试题，新高考相对于全国卷如果只是题目形式上的变化(单选变多选),那么新高考的意义就不大了，若突出新高考的新，则可表现在题型上的新和解题思想上的新，例如2020年山东解析几何，虽然考查动直线过定点，但是以另外一中定值的形式隐形考查，这种变化更要求对题目本质的把握而非题型的把握。
最后，与数列周期性相关的问题可查看：小知识之周期数列的周期性应用
