普通人熬夜是刷手机、刷小说、刷短视频，而高斯熬夜后直接解决了困扰阿基米德的一个问题。高斯解决的问题是用尺规作图法画出正十七边形，同样给我们一晚上的时间，很多人也画不出来，这可能就是我们与天才的距离吧。
高斯表示，正十七边形没什么难的，也就困扰了数学家们2000年，困扰他一个晚上而已。这位传奇般的天才数学家，用他的智慧将数学推向了一个发展巅峰，谁能想到，他解决这个问题的时候，还只是一个19岁的少年。那么高斯是如何用一个晚上解决这个千年难题的？
正十七边形
数学的几何学上有这样一个类群，叫正多边形。我们比较熟知的正三角形，又叫等边三角形，正四方形，又名正方形，从正五边形开始，后面的正多边形就很难在生活中看到了。不过对数学家们来说，越到后面越是刺激。
理论上，用尺规作图的方法可以得到很多图形。所谓尺规作图就是只用直尺和圆规将图形画出来，并且这个直尺上不能有任何刻度，圆规上也不能有任何度数表示，作图者需要熟练掌握三角函数、中位线定理等数学知识。比如我们要画一个正三角形，这是最基础的正多边形，每条边都一样长，夹角60度。
首先我们画出一条线段，不用在意长度，反正直尺没有刻度，这条线段的长度会成为之后正三角形的边长。然后使用圆规，先将其尖端固定在线段的一个端点，以这条线段为半径画一个圆，接着转移到另一个端点，和刚才一样，再画一个圆。这两个圆会相交于两个点，这个时候任选一个点，将其与所画线段的两个端点相连，就能得到一个正三角形。
正多边形有个求内角和的公式，为（n－2)×180°，n是正多边形的边数。因为每个内角的度数是一样的，因此可以用这个公式计算出每个内角的度数。所以正十七边形，有17条相同长度的边，内角和2700°，每个内角为158.8235294117647°。
乍一看，我们会觉得永远也画不出来，可是根据正N边形的特点，是绝对可以画出来的，只不过要烧掉脑细胞而已。阿基米德的脑细胞够多吧，他一样也没有画出来。并且自阿基米德以后的2000年时间里，都没有一个人画出来，渐渐地，尺规画正十七边形成为了千年难题。
但是在1796年的某一天，哥廷根大学19岁的学生高斯，用一个晚上的燃烧脑细胞，将这个困扰人们2000年的难题解决了。
天才少年
高斯是德国数学家，在他那个年代，数学、物理、化学这些学科都是贵族才去研究的领域。而高斯的家庭很贫寒，父母都是平民，母亲是一个没有任何教育背景的农妇，父亲是一个泥瓦匠，偶尔搞点工程，也就算是那个年代的包工头吧。
高斯的家里没有浓厚的学习氛围，但高斯却天赋异禀。高斯的父亲有的时候跑工程，因为没钱聘请算账的人，因此只能自己计算，小高斯3岁的时候，就会帮父亲算账。如果是有钱的家庭，这个时候早早就把孩子送进学校学习了，可高斯爸爸的出身限制了眼界，他看见高斯这样，欣慰以后儿子可以接替他的工程。
高斯虽然早早展现了自己的天赋，可依然没有得到良好的教育。后来高斯到了上学的年纪，他的爸爸本着以后好找工作的信念送他去念书。
很多人上小学的时候都做过这样一道数学题，从1开始加到100，计算总和。这个时候老师会教大家使用高斯法解答问题，采取头尾相加的方法，用1+100，2+99这样的办法以此类推，一共50对，因此得到结果5050。大家会用，但是却很少有人知道这是高斯9岁的时候，想到的办法。
他的老师感到震惊，察觉到这是一个百年难遇的天才，于是他去家访，希望父母能重视高斯的教育。然而高斯的老爸还没有意识到儿子是一个天才，他只想让高斯以后找个工作糊口就行。
还好老师们没有使高斯的才能被湮没，在他14岁的时候，高斯开始接受系统教育，在18岁的时候进入哥廷根大学学习。
一道家庭作业题
高斯的大学老师每天都会给高斯布置三道家庭作业题，这天老师有事情，没来得及找好高斯的家庭作业，于是随意想了两道题再从自己桌子上随手抓了一道题，凑满了三道给了高斯。高斯以为这个和平时的作业一样，就拿着回住处去了。他老师没发现，自己将如何用尺规画正十七边形这道千年难题，拿给了19岁的高斯当家庭作业。
高斯在完成作业的时候发现，老师布置的最后一道题怎么感觉比平日里难很多，他以为老师只想考考他，于是一直坐在桌子前面思考如何解答问题。
题目是让用尺规画出正十七边形，高斯并不知道这道题难倒过阿基米德，还以为是老师能解开的题目，于是不服输的他用了一个晚上，终于将正十七边形的画法推导出来。
高斯先通过三等分角判定方程，建立了基本等价方程式，初步获得解决方案后，他又建立了等价的一元二次方程， 最终只需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七边形的尺规作图法。
用高斯的方法，主要是将2π/17这个非特殊角度，通过转换，用特殊角度的组合表示。其次就是对于三角函数的恒等变换，这一步工作看似相当基础，实则关系重大，高斯正是通过这一系列繁杂的恒等变换，层层推进证明出正十七边形的可作图。这是高斯一个晚上完成的结果，当它第二天顶着黑眼圈去上课交作业时，把老师惊呆了，这个2000年无人解答的问题，到高斯手里一个晚上就出来了。
值得注意的是，高斯并没有直接画圆，他只证明了正十七边形可以用尺规作图法。这就好比，建造一座大楼，高斯是设计师，但他不参与修建过程。后世在高斯证明的引导下，画出了正十七边形。
步骤如下：先画一个圆O，作两垂直的直径AB、CD。 然后在OA上作一个E点，要使O点到E点的距离是半径的四分之一，再将C点和E点连接起来。将∠CEB平分线得到平分线EF再将∠FEB平分线，平分线为EG，与CO交于P点。作∠GEH，度数45°，并且交CD于Q点。
以CQ为直径作圆，与OB交于K。再以P为圆心，PK为半径，画一个圆，与CD交于L与M两点。分别过M、L作CD的垂线，与圆O于N与R。两点作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份。
数学王子
正十七边形让高斯名声大振，在其24岁的时候，发表了著作《算术研究》，成为当时欧洲的著名数学家。因为实在是太年轻了，大家称呼他为“数学王子”。
高斯通过研究发现，并不是每个正多边形都可以用尺规作图法，边数必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，费马素数有5个，分别是3、5、17、257和65537。运用公式来解释就是：
一个正N边形，N=2ax3、2ax5、2ax17、2ax257、2ax65537，其中a是非负整数。这就说明边数目是其他素数的，不能通过尺规作图法画出来。正十七边形是20x17=17，因此可以用尺规作图画出。
早在高斯17岁的时候，他就发现了最小二乘法，这是一种概率统计法，在处理足够多的数据后，高斯用在了曲线与曲面的计算上，并最终得到了正态分布。
有了这个方法，高斯的研究领域开始拓展到天文学，很多人并不知道，谷神星的运行轨迹，是高斯计算出来的。
他还参与绘制了当时汉诺威公国的土地测绘工作，利用他的最小二乘法以及线性回归方程，提高了测量数据的精确度。高斯在测量工作中，发明了日光反射仪，经过他的改进，这便是现代测绘上最常见的镜式六分仪。
1840年，高斯阅读了俄国数学家罗巴切夫斯基用德语书写的《平行线理论的几何研究》，高斯很赞赏这位数学家，为了能读懂他以往的著作，高斯在63岁高龄的时候，学习掌握俄语。他还建议自己工作的哥廷根大学聘请这位高人来任教。高斯、欧雅诺、罗巴切夫斯基三人，被后世称为“微分几何的始祖”。而就在他学习掌握俄语的同时，他还和韦伯画出了第一张地球的磁场图。
高斯是一个天才，他在多个领域都有建树，但是因为缺少理论支持，很多并没有以论文的形式发表，只是通过笔记将他的研究结果保留下来。他经常在看到学术期刊上的论文和同事们讨论，说这个理论他之前也有想到，只不过缺少时间去验证。一些人因此抨击他，说他吹牛撒谎、爱出风头。高斯逝世后，人们发现了他的20本笔记，上面记录的研究的确在这些期刊之前。
数学的意义
很多人都苦于学习数学，认为这个学科不仅难而且枯燥。并且从某种程度上讲，数学并不是自然科学，它无法通过实验来证明，都是通过推导，因此在学科划分上，它属于形式科学。数学却成为了自然科学的基础，是研究自然科学必不可少的工具与手段。
可以说数学在生活中无处不在，除了人们日常所用的加减乘除法，建筑、彩票、运输甚至医疗行业都有数学的身影。更有甚者说，学好了数学就可以玩转股市。不管怎样数学与我们的关系比人们想象的还要近，无形之中一些什么数学知识都没有的人，偶然在生活中参与了数学的运算。
数学学科中专门有一个分支，叫做数学美，意思就是数学与我们所说的美学也有密切的关系，比如黄金分割线、黄金比例等词汇。许多人都认为天文学与物理学息息相关，却忽略了数学的逻辑运用。高斯是数学家，同时他也是一名天文学家。
许多人都认为我们用不到那么多数学理论，比如微积分，现实中很少有地方用到微积分，大家会觉得学习它没有任何意义。其实学习数学的本质，不是死记硬背一些什么定律，而是学习一种多元的思维方式，让你能从不同的角度去看待世界。解答出微积分，只不过是多元思维方式的一种表现罢了。
不可能人人都是高斯，一个晚上的时间就能解决2000年前的难题。但我们可以学习高斯，时刻对知识充满兴趣与尊重。
